初探初中数学开放性题目

曾令山

内容摘要：数学开放题指思维多向、答案不唯一的数学问题，它的特征是题目条件不充分或结论不确定。它作为考查学生创新意识的渠道之一，是全国各地的中考试题的一个亮点。也是竞赛题的一个考点，主要开发学生的创新能力。

关键词：开放题；题型；编制

G633.6

创新是科学的本质，是社會发展的不竭动力，培养学生的创新意识和创新能力，对一个国家和名族具有十分重要的作用，新课程标准强调“通过义务教育的数学学习，学生具有初步的创新精神和实践能力……”；同时强调要关注学生的个性差异，面向全体，有效地实施有差异的教学，使每个学生在教学上都得到充分的发展。

分的体现，也成为命题的一个亮点。开放性试题所表现出来的开放性和创新性，体现了素质教育的宗旨和新课程改革的基本理论，符合新课程改的要求，有利于尊重学生个性、自主发挥。同时在一些开放题中还设置了可“活想活做”的情景，让考生“有话可说”，表达自己的思想见解，也有利于学生创造性的发挥，让部分考生考出精彩并脱颖而出。同时开放题所涉及的内容非常广泛，无论是生活现象，还是可学前沿都成了命题内容，内容的开放要求学生必须具有丰富的涉猎领域和灵活的思维能力。

一、什么是数学开放题

数学开放题指思维多向、答案不唯一的数学问题，它的特征是题目条件不充分或结论不确定。它要求学生充分利用题中所提供的信息，通过观察、比较、分析、猜想、概括、推理、判断等一系列探究活动寻得正确答案。开放题为学生提供了更多的表述机会，而“数学地交流”是数学教育的基本目标之一，开放题也为教学基本模式的改变，及创造出一种不同于传统的“教育文化”的新的教学氛围提供了现实可能性，最后，开放题的教学并有助于学生对于教学本身性质的正确理解。这就是指，数学主要地应被看作人类的一种创造性活动，从而就包括了探索、尝试、比较、交流、改正与错误纠正等各个环节。

二、数学开放题解决办法无固定模式，解决过程带有较强的探索性，初中数学开放题一般有以下几种类型：

1.自编问题型 2.阅读理解型

3.决策运筹型 4.数学建模型

5.方案设计型 6.信息迁移型

7.单一判断型 8.条件开放型

9.题设取合型 10.探索结论型

11.过程动态型 12.分类讨论型

比较典型的一般有自编问题型，条件开放型，过程动态型和探索结论型，下面分别进行说明。

（一）自编问题型：指给定一定条件，要求根据条件编制符合题意的数学类型的题目，自编问题型给学生提供了最大的发挥空间，要求学生根据自己的学习生活经验，探索符合题意的题解。

例1、有一个二次函数的图象，3位同学分别说出它们的一些特点。

甲：对称轴是x=4

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以3个交点，为顶点的三角形面积为3

请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式

此题所涉及的内容涵盖了二次函数，学生在理解了对称轴，与坐标轴交点坐标及三角形面积公式等概念基础上即能正确解答，学生寻找解题途径的过程，实质上就是探索验证的过程。

（二）条件开放型：给定明确结论，需探索使结论成立的多个充分条件中的一个或者几个条件的题目。

例2、当平面四边形ABCD满足____________________时，四边形ABCD是平行四边形（注：填上你认为正确的一种条件即可）本题要求学生探索使四边形ABCD成为平行四边形的一种充分条件，学生只要明确平行四边形的概念，判定定理即可轻易作答，填上“AB=//CD”或“AD=//BC”或“AB=CD且AD=BC”或“AC与BD相交且相互平分”均可，同时用文字叙述如“两组对边分别平行”也可。

（三）过程开放型：指给定条件求结论，需探索不同解决方案的一个或几个方案的题目

例3、某工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克。

请根据要求安排A、B两种产品的生产件数，请你设计出至少两种生产方案。

本题是生产调度问题，学生只要能根据不等式组的性质求解即可。

解：（1）设安排生产A种产品X件，则生产B种产品（50-X）件。

由 9X+4（50-X）≤360

3X+10（50-X）≤290 得30≤X≤32

∵X为整数 ∴X取30，31或32

∴X生产方案有三种；①生产A种产品30件，B种产品20件，②生产A种产品31件，B种产品19件，③生产A种产品32件，B种产品18件。

（四）、结论开放形：指给定明确条件，需探索满足条件的各个结论中的一个或几个结论的题目。

例4 设抛物线y=x?-（m-1）x+m+2与y轴相交于点C、与X轴交于A、B两点（A在B的左侧），0为坐标原点，以OA、OB为直径作⊙01⊙02且这两个圆外切（1）求m得取值范围（2）这两个圆的半径是否相等？若相等，求出其半径；若不等，请指出哪一个圆较大？（3）是否存在这样的m值，使OC?=OA?OB？如果存在，判定△ABC的形状；并证明你的结论，若不存在，请说明理由。

解：设A（X?，0），B（X?，0），X?

（1）由 △>0

X??X?<0得m<-2

（2）由X??X?=m-1<-3≠0得两圆半径不等且以OA为直径的圆较大

（3）假设存在m使OC?= OA?OB 则（m+2）?=-（m+2）

∴m=-3

此时△ABC是直角三角形，证△COA∽△BOC即可。

开放题类型较多，一种类型单独成题，有时也可能多型合题，解答这些题目要求学生善于探索、猜想有厚实的基本功和一点的数学思想方法，同时也要求学生具有较多的收获思维能力和创造新精神。

参考文献：

[1]李昭平《对21世纪初中数字教育的几点思考》、《教育实践与研究》（石家庄）

[2]孟祥东、谢印智《2004年各地中考试题新特点》、《中学数学杂志》

[3]梁祥居《初中数学开放题合议》、《福建中学教学》

[4]曾沐斌《开放性数学型及解法探究》、《中学教学月刊》

[5]郑敏信《再论开放题与开放式教学》、《中学数学教学参考》