浅谈不等式证明的几种方法

杨英杰

【摘 要】不等式的证明是数学中的重点，也是难点，有很强的技巧性，学生往往无从下手。其实，在不等式证明的过程中，要注意从整体上把握不等式的特点，再选择合适的方法便可以将问题圆满的解决。本文主要介绍不等式证明的3种方法。分别为：①变量代换法，②判别式法，③构造法，其结构采用定义、例题、点评方式予以阐述。

【关键词】不等式证明 变量代换法 构造法

不等式理论是从C.F.Gauss，A.L.Cauchy奠定近似方法的理论基础时开始发展起来的[1]。不等式经过近百年的蓬勃发展已经成为数学领域中举足轻重的一部分。不等式的证明是数学证题中的重点，同时也是難点，许多学生对它望而止步。追其原因是证明方法无固定程序可循，方法多种多样，比较复杂，技巧性极强，学生很难把握.因此，不等式证明方法、技巧在不等式证明过程中就显得尤为重要。

1 变量代换法

变量代换法：往往是对一些不等式证明感到难以下手或思路一下子打不开的时候，通过巧妙的代换能简化原有的结构或实现某种变通与转化，从而打开解题思路，找到解决问题的途径[2]。

例1 设，求证：.

证明：令，

则

.因此原不等式成立。

点评：变量代换法技巧性十分强，因此选择适当的辅助未知函数显得尤为重要，选择不当，反而会使计算更加繁琐，所以选择时要更加慎重。

2 判别式法

判别式法：指当已知条件与一元二次方程相关，或虽无关但却可以构造出一元二次方程，且在转化过程中，未知数的取值范围没有发生改变时，可借助一元二次方程根的判别式非负实现等与不等的矛盾转化的方法[3]。

例2 设在内均可积，则求证

.

证明：构造关于的二项三项式

==

.

若可积，则对任何，也可积，且，即，.由一元二次方程根的判别式法可知：，即

故，.因此，原不等式成立。

点评：本题采用判别式法进行证明。此法有一定的巧劲，通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

3 构造法

构造法：当条件与结论相距较远，直接沟通不容易时，则有必要构造出能将条件与结论相联系的辅助问题，以便借助它的桥梁作用实现条件与结论间的转化[4]。

由欲证形式构造“形似函数”。

例3 求证：.

证明：令，则，可知在时为单调递增函数。又，则，

即，

故.

点评：本题采用构造法进行证明。构造法是间接证法中的一种，重在通过分析找出条件与结论间的内在联系，来构造函数图形，技巧性十分强。

4 结语

本文探讨了3类不等式的证明方法，并用例子加以说明。每种方法都有其最适合的情况，我们应针对不同的情况选择最恰当的方法。但是，此能力的形成，是需要在长期的实践中摸索的。因此，希望学习者能多多练习，熟练掌握每一种方法，使不等式的证明问题得以轻松解决。

参考文献：

[1]李玉琪.初等代数研究[M].北京：中国矿业大学出版社，1993.

[2]方初宝，等编.数学猜想法浅谈[M].重庆：科技文献出版社重庆分社，1988.

[3]吴德风.不等式与线性规划初步[M].北京：科学普及出版社，1991.

[4]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.