基于不完备信息的投资组合风险管理：随机控制方法

张焕君　王光臣

摘要

随着倒向随机微分方程理论的不断发展和完善，其在数理金融中的应用越来越广泛，随机控制也逐渐成为研究投资组合风险管理问题的重要方法.本文侧重于展示基于不完备信息的随机控制方法在研究期权定价、均值方差、期望效用最大化这三类投资组合问题中的简单应用.关键词不完备信息；倒向随机微分方程；随机控制；期权定价；均值方差；效用函数

中图分类号O2313

文献标志码A

0引言

近些年来，金融危机频发，导致了全球性的经济大萧条，我国也深受其害，发生了“中航油”、“中储棉”等一系列金融風险暴露事件，造成了巨大的尽量经济损失.有效的金融风险管理可以减少金融风险可能造成的损失，尽量保证生产经营活动免受风险因素的干扰，因此，金融风险管理历来受到各国政府和学界的高度重视，并成为重要研究课题.

19世纪的伟人马克思认为，一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步.用数学工具研究金融问题的最早尝试可追溯到1900年法国数学家巴施利叶（Louis Bachelier）撰写的博士学位论文《投机理论》，它试图用布朗运动预测巴黎股票交易所股票价格的上涨和下跌.1964年，这篇60多页的博士论文由麻省理工学院翻译出版，后被视为用数学工具研究金融问题的开山之作.在我国，金融数学的发展相对较晚.20世纪90年代初，山东大学数学学院彭实戈院士领导的科研小组研究了境外衍生产品的交易规则，发现了我国境外期货交易存在巨大金融风险.出于学者的社会责任感，彭院士奋笔疾书写了两封信，一封经山东大学潘承洞校长转呈山东省副省长；另一封经国家自然科学基金委转呈中央财经领导小组.彭院士在信中汇报了自己的最新研究发现，建议立即开展对衍生产品市场的风险管理研究工作.后来，山东省立即停止了境外期货交易，避免了大量国有资产的流失.国家自然科学基金委也高度重视，1996年，以彭实戈院士担任首席科学家的“九五”重大科技公关项目“金融数学、金融工程和金融管理”正式通过了国家自然科学基金委答辩，开启了我国用数学工具研究金融问题的新篇章.

金融数学主要是运用现代数学理论和方法（如随机分析、随机最优控制、数学规划、现代计算方法等）对金融（投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具）的理论和实践进行数量的分析研究.本文侧重于展示基于不完备信息的随机控制方法在期权定价、均值方差、期望效用最大化等投资组合风险管理问题中的简单应用.

期权定价是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题.1973年，Black和Scholes在其论文《期权定价及公司债务》[1]中首次提出期权的一般定价公式，同年，Black、Scholes和Merton成功求解了

偏微分方程，得到了欧式看涨期权和看跌期权定价的显

式解.此后，BlackScholes公式被逐渐应用到包括期权在内的各类衍生产品定价中，并最终成为金融机构设计金融新产品的重要依据.为此，Scholes和Merton于1997年10月获得了诺贝尔经济学奖（注：Black已故，无缘获得诺贝尔奖）.1976年，Cox和Ross[2]给出了风险中性定价方法.1981年，Harrison和Pliska[3]通过了等价鞅测度理论建立了无套利定价与风险中性定价的联系，这便是资产定价的基本定理.Delbaen和Schachermayer[45]、Jacod 和 Shiryaev[6]在更一般的随机模型下发展了资产定价的基本定理.为了更好地解释市场特性，人们进一步推广了几何布朗运动模型.主要分为两类，一类是随机波动率模型[710]，另一类是带跳的随机扩散模型，包括泊松跳过程（Merton[11]）和一般的Levy过程（Geman等[12]、Duffie等[13]）.2007年，吴臻和王光臣[14]研究了不完备信息下股票付息且存贷款利率不同的期权定价问题，给出了BlackScholes期权定价公式.

投资组合选择的基本问题是如何将财富分配到不同的资产中以达到分散风险、确保收益之目的.均值方差理论以及效用函数是处理投资组合问题的两个不同工具，由效用函数决定的投资组合，一般情况下不是均值方差有效的，但二次效用函数除外[15].关于均值方差与效用函数的具体比较，可参见文献[1620].这一领域的开创工作可追溯到1952年Markowtiz[21]提出的均值方差分析方法，这种方法被普遍认为是现代金融学、分析金融学的开端，Markowtiz也因此获得了诺贝尔经济学奖.值得注意的是，绝大多数关于投资组合的研究均假设投资者准确地知道金融市场上的所有信息，例如，资产收益率的期望和方差等，这种假设与现实不符，其产生的偏差往往会给投资组合的选择带来风险.效用函数是建立在公理体系上的一套决策理论[22]，在不确定性决策中被广泛使用.Merton在20世纪60年代使用效用函数来刻画投资者的风险态度，利用随机控制方法，给出了在此条件下的最优投资消费选择策略.Berkelaar等[23]使用鞅方法研究了Kahnerman提出的带有分片指数型效用函数的动态投资组合问题.Jin和Zhou[24]研究了带有概率扭曲的分片效用函数的投资组合问题.近半个世纪以来，Merton模型被众多学者不断改进使其更贴近现实.例如，Gennote[25]充分考虑了股票收益率、波动率的不完全可知性，将Kalman最优滤波和随机最优控制相结合，研究了不完备信息下的最优投资组合问题.Xiong和Zhou[26]进一步证明了最优估计与最优投资策略的可分离性.但在通常情况下这种分离性并不成立.最近，Wang和Wu[27]提出了倒向分离方法，克服了传统分离方法的应用局限，适用于研究一大类复杂的随机控制系统问题.相关内容可参见文献[2830].

本文安排如下：首先给出几个记号并介绍一些预备知识；然后分别介绍随机控制方法在期权定价、均值方差和基于效用函数的最优投资组合问题中的简单应用；最后概括全文，并展望未来.

1预备知识

相对于经典的（正向）随机微分方程（以下简称SDE）而言，BSDE的研究起步很晚，究其原因是SDE与BSDE在数学结构上存在本质差别，这使得BSDE不能由SDE经时间逆转变换得到.1994年，法国著名金融数学家EI Karoui教授用BSDE研究了证券市场中许多重要的衍生产品定价问题，发现BlackScholes公式仅为线性BSDE的特殊形式.此后，BSDE相关理论及在随机控制、随机微分对策、随机偏微分方程中的应用，特别是在金融工程、保险精算中的应用，已成为一个研究热点.

13随机滤波

滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施.滤波问题的研究对象是信号过程和观测过程，最优滤波就是根据能观测到且可利用的信息对信号过程进行的最佳估计.20世纪60年代初，Kalman和Bucy发表了一篇题为《线性滤波和预测理论的新成果》的论文，提出了一种新的线性滤波理论，这就是所谓的Kalman滤波，它是一种从受噪声干扰的量测中估计线性动态系统状态的有效递归算法.

当信号过程满足非线性动态系统时，相应的状态估计问题就称之为非线性滤波.连续时间情形下非线性滤波问题的经典构造是假设状态方程为一扩散过程，观测过程为由另一布朗运动驱动的扩散过程.对于这种非线性滤波问题，20世纪60年代涌现出许多重要结果，例如Stratonovich最优滤波、Kushner方程、DuncanMortensenZakai方程等.关于非线性滤波的最新进展，请参见文献[32].

2期权定价问题

21期权定价的相关知识

期权是指一种在未来某特定时间以特定价格买入或者卖出一定数量的某种特定商品的权利.期权有投机、保值和对冲风险等作用，投资者可以通过一个定价模型来限定买权的价格范围.合理的定价能有效地规避风险.因此，期权定价是期权交易中的核心问题.

1973年，Black和Scholes提出了著名的BlackScholes[1]期权定价公式，它是期权定价理论中的里程碑式结果.BlackScholes公式的推导及运用受到一系列条件的约束，例如标的资产价格S（t）服从对数正态分布、无风险利率r为常数、不支付交易费和税收等，这些过于严格的假设与现实存在较大差距，使其在理论和应用上存在缺陷.例如BlackScholes公式无法求解美式期权定价问题.继BlackScholes公式之后，各种不同的期权定价模型纷纷被提出，Harrison和Kreps[33]提出了一种鞅定价方法，在风险中性条件下，通过对该产品的未来现金流进行折现得到期权的价格.此外，也有一些学者对BlackScholes公式进行不同程度的修正，提出了许多推广模型，例如跳跃扩散模型、Levy过程模型、指数Levy过程模型、随机波动率模型等.这些模型的推导大多没有用到BSDE，接下来将介绍几个基于BSDE方法的期权定价模型.这些结果主要取自文献[14，34].

22基于BSDE的期权定价模型

BSDE具有良好的动态性，可以用来研究投资组合以及期权定价问题.下面给出一种利用BSDE对欧式期权进行定价的方法.

3均值方差问题

Markowitz[21]使用方差来刻画风险，提出了著名的均值方差模型，开启了投资组合研究的大门.均值方差问题主要包括离散时间和连续时间两种情形，本节主要介绍随机控制方法在连续时间均值方差投资组合问题中的简单应用.

31基于完备信息、连续时间情形的均值方差问题

由于方差在动态规划意义下不可分离，如何将Markowitz最早提出的均值方差模型推广到动态投资的框架下一直是个难题.2000年，Li和Ng[36]、Zhou和Li[37]将嵌入法引入该问题的研究，终于解决了方差不可分离这一难题.在此基础上，后续的连续时间均值方差模型的研究致力于解决更复杂的情形.例如随机机会集合的问题[38]、局域跳变的问题、不允许卖空的问题[39]等.需要注意的是，Zhou和Li[37]提出的动态均值方差投资策略并不满足时间一致性，即投资策略在任意时间点上并非最优.最近，Bjrok等[40]利用随机博弈思想提出了不同方法解决了动态均值方差问题的时间一致性问题.

32基于不完备信息的均值方差问题

研究不完备信息下的均值方差问题更符合实际情况.最近，Wang和Wu[41]研究了不完备信息和非Markov控制系统下的均值方差问题，推出了线性二次问题的最优控制，得到了正倒向随机微分滤波方程，并求解了一些随机控制与金融投资例子.现概述如下：

基本假设如11节所述，市场上有1只债券和m只股票，其价格满足方程（1），投资者的财富过程Xπ（t）满足方程（3）.若假定初始财富为Xπ（0）=X0>0，则Xπ（t）满足

dXπ （t）=r（t）Xπ （t）+∑mi=1（μi（t）-r（t））πi（t）dt+

∑mi=1σi（t）πi（t）dWi（t），Xπ（0）=X0. （14）

一般而言，投资者不可能获知市场上的所有信息，不失一般性，令Gt表示投资者在t时刻所能观测的所有信息，显然GtFt.对于投资者来说，他只能根据Gt选择一个最优的投资组合.

4基于效用函数的最优投资组合问题

自Merton在20世纪60年代末提出投资消费模型至今，最大化期望效用问题已有比较系统的研究，但大多假定风险资产价格动态方程中的布朗运动W以及漂移系数可直接观测，这显然不符合实际，因为投资者掌握的信息不可能是布朗运动W生成的σ域Ft，而是其中的一部分.同第23节一样，假定投资者仅能观测到股票价格，其生成的信息流仍记为Gt，显然只有Gt-适应的过程才是可观测的.基于信息流Gt，Alster和Belanger[43]、Lakner[44]運用鞅方法研究了最优投资问题，但他没有给出投资策略的显式解.杨招军和黄立宏[45]、吴臻和王光臣[14]在一些特殊条件下获得了解析的最优投资策略.关于其他进展，请参见文献[46].现重点阐述文献[14]取得的部分结果.

定义3若一个函数f（x）在（0，∞）上连续可微、严格增、严格凹，且满足Inada条件

df（x）dxx=0=limx↓0df（x）dx=+∞，df（x）dxx=+∞=limx→+∞df（x）dx=0，

则称f（x）为效用函数.

定义4若对任意的0≤t≤T都有Xπ （t）≥0且E∫T0π2 （t）dt<∞成立，则称投资策略π（t）关于初始财富X0是容许的. 我们把所有容许投资策略组成的集合记为Uad.

基本假设同11节，股票与债券的价格动态满足方程（1），假设投资者具有初始财富X0，在任意时刻t，投资者的财富Xπ（t）满足方程（5）.考虑到部分信息的特点，股票收益率μ（t）必须Gt适应.

5小结

本文侧重于展示随机控制方法在期权定价、均值方差、基于效用函数的投资组合风险管理问题中的简单应用.随着金融衍生产品的不断开发，大量的随机控制新问题涌现出来.例如完全耦合正倒向随机系统滤波与控制问题，时间不一致的随机最优控制问题等，这些问题都非常值得深入研究，其研究反过来将为管理投资组合风险提供有效方法.

致谢：非常感谢肖华副教授给予本文的指导性修改建议与意见.

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AbstractThe backward stochastic differential equation theory has been developed and improved in recent years，and then it is widely used in mathematical finance.Meanwhile，the stochastic control has become an important method to study the portfolio risk management problem.In this paper，we focus on how to study option pricing，meanvariance and expected utility maximization problems by using the stochastic control method with incomplete information.

Key wordsincomplete information；backward stochastic differential equations；stochastic control；option pricing；meanvariance；utility function