例谈作垂线段在三角形问题中的应用

吴碧奕

八年级（浙教版）上册几何部分的重点内容是三角形，而作垂线段的方法在解决与三角形有关的问题时发挥了重要作用，下面就作垂线段在与三角形有关的证明和计算类问题中的应用作一些剖析，探讨作垂线段的问题背景和问题思路。

一、证明题中作垂线段的方法

例1如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点P是AC边上一点，在BC边上取一点D，使PB=PD，过点D作DE ⊥AC于点E，请求出线段PE与AC的数量关系，并说明理由。

分析：从图形上观察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜边，与等腰三角形斜边有一半关系的就是斜边上的中线，由于∠PED=90°，为了便于证明全等，故而自然想到过点B作BF⊥AC，利用BF=PE证明PE =AC。

解：PE=12AC

证明如下：

作BF⊥AC（如图2），

∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。

∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°

∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，

∴∠1=∠2。又∵∠PFB=∠DEP=90°，

∴△PFB≌△DEP（AAS）， ∴PE=BF=12AC。

点评：三角形中有许多定理是通过作垂线段证明两条线段相等，如等腰三角形中的三线合一定理，角平分线上点到角两端的距离相等，等等。在相应的背景下，只需作出垂线即有两条相等线段，这些相等线段可以是题目所求证的线段，也可以作为中间量转化为其他需要证明的线段。而本题中，首先问题背景是等腰直角三角形，其次，求的线段PE也在一个直角三角形中，这两个都是作垂线段作为辅助线的暗示条件，于是线段BF这条辅助线也就顺理成章了。

二、計算题中作垂线段的方法

1.利用作垂线段分割或补全图形求三角形面积 例2如图3，已知平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求△ABC的面积。

分析：从图3中可以看到△ABC斜放在直角坐标系中，而且从图形上看也不是直角三角形，所以不论以哪条边为底，求相应对的高都很复杂，甚至无从下手.此时，可联系不规则图形的算.法，采用割补法，先用作垂线段的方法将△ABC补全成长方形，再减去三个三角形就得△ABC的面积，而三个三角形都是直角三角形非常容易求面积。

解：作CD⊥x轴，CE⊥y轴，如图4，

∵C（4，3），∴CE=4，CD=3

∵A（0，1），B（2，0） ∴OA=1，OB=2

∴S△ABC=3×4-S△AOB-S△BCD-S△ACE=4

点评：平面直角坐标系中的三角形问题背景下，比如求三角形上某个点的坐标，或者求图形的面积等，这两个也是作垂线段作为辅助线的暗示条件，或分割，或补全，或寻找直角三角形进行计算，之后就能有清晰的解题思路了.

2.作垂线段，通过直角三角形的边角关系计算 例3如图5，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，以BC为边向上面作等边△BCD，

BD与AC交于点E，取CD的中点F，连接BF交AC于点G.

（1）求证：△ABE≌△CBG； （2）若BG=2，求DE的长.

分析：本题有两小题，第一小题证明全等是为第二小题通过求BD，BE再求DE而服务的，而全等的条件也比较明显，此处不详述.第二小题已知BG求DE，乍一看是没有任何联系的两条线段，细想之下，DE是线段BD的一部分，而BE=BG=2，所以问题就转化为求线段BD，而与BD相等的线段BC与BG在同一个△BCG中，仔细思考这个三角形的特征，它有两个特殊角∠GBC=30°，∠GCB=45°，于是可以过点G作垂线段GH，利用直角三角形中特殊角对应边的数量关系解决这个问题.

解：（2）作GH⊥BC，如图6，Rt△BGH中，∵∠GBC=30°，

∴GH=12BG=1，∵∠GCB=45°，

∴等腰Rt△CGH中 CH=GH=1，

∴BC=1+3， ∵△BCD是等边三角形

∴BD=BC=1+3，∴DE=BD-BE=1+3-2=3-1.

点评：本题作垂线段比较巧妙，△BCG并不是特殊三角形，不能直接求线段BC的长，只有直角三角形中利用特殊角的边角关系或者勾股定理才能求边长，所以在特殊角30°，45°的提示下，作垂线段GH就势在必行了。不过这不是唯一的垂线段作法，经过第（1）小题的三角形全等证明了BG=BE=2，这两条线段所在的△BGC，△ABG，△ABE中都有30°，45°或60°这样的特殊角，所以这三个三角形中都可以利用作垂线段求AB或BC的长，进而解决问题。因此，在有一条已知线段且有两个特殊角的非直角三角形中，都可以通过作垂线段求边长。

综上，可以看到，凡是需要作垂线段作为辅助线的题目都在条件和结论中有所提示，比如等腰三角形中，或直角三角形中的特殊角，或图形的面积，或点的坐标等，凡此种种，都可以通过作垂线段让问题迎刃而解。