浅谈配方法的效用

刘代良

摘要：如何转化问题，使其变的更易解决，在数学教学上，配方法就是一种具体的、有效力、操作性强，易于学习者理解和掌握的转化方法。在本文中，作者从自身教学实践出发，分析探究了配方法在因式分解、一元三次方程、学生化归意识培养上的效用。

关键词：配方法；数学教学；效用；简化问题

有意识地对问题进行转化，变为已经解决或易于解决的问题，从而使问题得以解决，这是一条行之有效的途径。而配方法是一种具体的、很有效力的转化方法，且操作性强，易于学习者理解和掌握。因此，对配方法的掌握直接关系到学习者对问题的解决能力的培养与提高。本文就配方法的一些作用谈点粗浅的看法。

一、因式分解中的配方法

我们在学过用“提公因式法”、“公式法”进行因式分解之后，教材中简单地介绍了“十字相乘法”，但我认为有必要引导学生探究一种比“十字相乘法”更具一般性的方法，它就是下面所要谈及的“配方法”。

下面来看看对几个多项式进行因式分解的方法。

1.用提公因式法来分解因式：

3x+1+（3x+1）2=（3x+1）（1+3x+1）=（3x+1）（3x+2）

2、用公式法来分解因式：

x2+4xy+4y2=（x+2y）2

3、用十字相乘法来分解因式：

x2+5x+6=（x+2）（x+3）

除上面的几种方法以外还没有学过其他的方法，但只要想起平方差公式，我们就会联想到将2次项与1次项放到一个完全平方式里面，比如：

x2-23x-13 = x2-2x·13+（13）2 -（13）2-13

=（x-13）2-（23）2 = （x-13+23）·（x-13-23） = （x+13）·（x-1）

因此，在“提公因式法”、“公式法” “十字相乘法”不起作用的情况下就要想到使用配方法。使用配方法能够处理一般的形如

x2+ax+b （这里的a、b都是已知数）的2次3项式的因式分解问题。并且学习配方法可以为以后学习解一元二次方程打下基础。配方法掌握以后，对“十字相乘法”的理解和掌握也有帮助。配方法操作性强且易于掌握，熟悉之后就能使解决问题的能力得到提高。

二、配方法在解一元三次方程中的应用

利用配方法解一元二次方程，并且得到一元二次方程的求根公式，是大家所熟知的，在这里就不再赘述。下面谈谈配方法在解一元三次方程中的作用。

对于形如 （x+a）3=b 的一元三次方程，我们是容易知道它的解的。下面我们类比用配方法解一元二次方程而得到的公式解法来探究是否可用配方法解一元三次方程。

对于任意一个一元三次方程都可以很简单地变成如下的标准形式：x3+ax2+bx+c=0 ，经过配方（即将3次项与2次项放到一个完全立方式里面）可以得到 （x+a3）3+（b-a23）x+（c-a327）=0。此时为了研究的方便起见，利用换元法将该方程转化为更简单的形式。令 y=x+a3 则 x=y-a3 代人上式，原方程变为 y3+py+q=0 。

其中 p=b-a23 ，q=c-ab3+2a327

由此可知任何一个一元三次方程都可以化为较为简单的不含2次项的一元三次方程。现在的问题是，我们怎样才能将1次项也消去呢？

我们知道 （z-mz）3=z3-3mz+3m2z-m3z3 其展开式中没有2次项，只有3次、1次、-1次、-3次项，而（y-my ）中只有1次、-1次项，于是通过适当地选取m 的值并令y=z-mz，就有可能消去y3+py+q=0的展开式中的y的1次、-1次项，不妨试一试。

设 y=z-mz 代人y3+py+q=0 中并整理得

z3+（-3m+p）z+（3m2-pm）1z-m3z3+q=0

由上式可知，当 -3m+p=0 时一次项与负一次项的系数均为0。 即： z3-m3z3+q=0 。其中 m=p3

这是一个熟悉的可以解决的方程，解出 z 之后再代入 y=z-mz 之中。于是，我们容易得到方程 y3+py+q=0 的塔塔利亚—卡丹诺的公式解如下：

y1=3-q2+（q2）2+（p3）3+3-q2-（q2）2+（p3）3

y2=ω3-q2+（q2）2+（p3）3+ω23-q2-（q2）2+（p3）3

y3=ω23-q2+（q2）2+（p3）3+ω3-q2-（q2）2+（p3）3

其中 ω=-1+3i2。上面各式中所涉及到的a、b 、c 、d、 s 、t 均为已知数。

于是，根据上面的分析推导过程就可以得到一般的一元三次方程的解法，只要将上面的公式解以及p=b-a23 ，q=c-ab3+2a327 分别代入 x=y-a3 即可得到x3+ax2+bx+c=0 的公式解了。

因此，经过换元、转化，熟练掌握配方法，就能探究出一元三次方程理想的解法了。

三、配方法对于转化与化归意识的培养的作用

在数学解题和研究活动中，我们常常是借助于转化与化归思想。化归意味着用联系与发展的、运动变化的眼光观察问题，认识问题。要有意识地对问题进行转化，把它变为已经解决或易于解决的问题。强调化归意识，能够使学生认识到：事物是多方联系的，解决问题的途径不是单一的，从而可提醒他们自觉地建立联想，调整思考方向。

化归方法是一种间接解决问题的方法。它在数学问题解决过程中的作用就在于转化，这就是把待解决或未解决的问题进行变形、分割、映射，使之更简单一些，更具体一些，一直到归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题中去。转化问题是解决问题的关键。数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直到化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题的过程。

数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。如数形结合法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化。而配方法则是一种强有力的化归方法，而且操作性强，易于掌握，它对学习者的数学能力的培养和提高是有很大作用的。

四、配方法的建构意义

建构主义者认为：学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。这其中包括两个方面，一方面是对新信息的意义的建构，另一方面是对原有经验的改造和重组；学习者在学习过程中并不是发展起供日后提取出来以指导活动的图式或命题网络，而是在面临新的情境时，依靠以前的经验背景，能够灵活地建构起用于指导活动的图式。

把配方法整合到化归意识之中，可以改善和丰富学习者对于事物的理解，可以建构新的知识体系。

配方法是一般方法，而十字相乘法只是一种技巧。所谓技巧是指解决问题的一种特殊手段，它只能在某些问题中发挥特殊作用。“技巧”的教育价值远远低于一般方法的教育价值。将一般方法中的原理推导部分隐藏起来所得到的方法就是技巧。因此，技巧只是一般方法指导下的特殊用法而已。

“十字相乘法”是对“因式分解”这个概念作逆向思维而导出的一种方法，但该法只能解決一些较为简单的因式分解的问题，用处不是很大的。

因此，教学者在教授因式分解时就不应该简单地介绍“十字相乘法”，在没有弄清原理的情况下，学习者就会感觉到“十字相乘法”是从天而降的。即使掌握了也只是被动地接受了一点知识，在用不上的情况下就会严重损害他们的自信心。而引导学生把一般的二次三项式 x2+ax+b 的因式分解的问题化归到曾经学过的使用平方差公式及完全平方公式分解因式的情形，借助于配方法就能解决问题，从而借以树立起他们解决问题的信心和改善他们的知识结构，建立起新的知识体系，以及在解决问题的过程中他们的能力也就能够得到较大的提升。因此，其建构意义是显然的、深远的。