浅谈数形结合方法在高中数学解题中的应用

周晶

摘要：数形结合思想是高中数学中重要而基本的思想方法之一。本文在了解数形结合思想的发展历程、正确认识数形结合思想的作用的基础上，就高中数学解题中数形结合思想涉及的主要问题进行分类举例说明。并着重借此概括出应用数形结合思想解决高中数学问题的一些规律，探讨教学中处理数形结合思想方法的问题，提出了分层教学目标：抓住点滴，渗透数形结合知识；发展眼光，揭示数形结合本质；专项练习，强化数形结合思想。补充了有关数形结合的教学理论基础，同时对教学实践有一定的参考作用。

关键词：数形结合；解题；高中数学；教学

一、教材分析

1.教材背景 指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容。本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。

2.本课的地位和作用 本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。

二、重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点：（1）对于和时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。

（2）底数相同的两个函数图象间的关系。

三、數形结合思想

1.数形结合思想的重要性 从数学的历史背景上说，“数”与“形”是最古老，最基本的研究对象，在一定情况下，它们是可以相互转化的，在这一转化过程中，就产生了数形结合思想.数形结合思想在数学解题中具有举足轻重的地位，它是联系代数和几何的桥梁，是建立空间想象力的纽带，是解决数学问题的重要思想方法.我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”华老的这句话揭示了数形结合思想的重要性，也对我们的数学解题具有极深刻的启示.

2数形结合思想的分类. 作为一种重要的思想方法，数形结合思想的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.第二种情形是“以形助数”，即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化，给人以直觉的启示.通过这两种方法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而实现优化解题的目的.

3.与数形结合思想相关的内容. 数形结合思想作为一种重要的解题思想应用极其广泛，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上对应点的关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素或者是几何背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）题中出现的等式或者是代数式具有明显的几何意义.如斜率等.至于数形结合思想具体的应用技巧将会在以下具体的例子中体现. 4利用数形结合思想解决问题的注意事项.

要想更好的运用数形结合的思想使问题得以简化，需要注意以下几点：（1）要彻底的明白数学中的一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，既能够分析出题目中的条件和结论的几何意义，又能分析出其代数意义.（2）恰当的设参，合理的用参，由数思形，以形想数，做到合理恰当的转化.（3）正确确定参数的取值范围，不要与题中的取值范围混淆

四、数形结合方法的实用性

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在学习过程中有些学生觉得难以理解，有的甚至经常出现错误或混淆的内容，数形结合可充分利用形，把抽象的问题变得直观、形象，很容易引发联想，探索规律，得出结论。数形结合方法的应用主要有以下几点：

1.在集合中的应用 集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴、平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。

2.在函数中的应用 函数问题是高中数学的重、难点，然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题，通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。

五、数形结合思想在解题中的应用总结

1.通过以上的应用实例我们可以看出，数形结合思想实际上就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来考查的思想.根据解决问题的需要，我们可以把有关“数”的问题用图形直观去描述，从而揭示出图形的几何特性；而对于“形”的问题，我们可以用“数”去度量，找到数量之间的关系，从本质上认识到“形”的几何属性.简而言之就是“数形相互转化”，优化解题思路.

2.通过以上的探讨，我们已经理解了数形结合思想在解题中的优势，也知道了数形结合思想在数学解题中的广泛性，因此在学习新知识和应用知识解决问题的时候，我们应该多注意数形结合的应用，有意识的加强这方面的训练，从而提高我们的数学解题能力.

参考文献：

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[2]刘前恒；利用数形结合方法求函数的最值[J]；内蒙古科技与经济；2002年S1期

[3]李丁群；使用数形结合方法应注意的问题[J]；数学通报；1996年08期

[4]曹兵；解题过程中思路受阻如何找出路[J]；中学数学；1997年07期