例析“放缩法”巧证函数不等式

广州市广东广雅中学(510160) 徐广华

例析“放缩法”巧证函数不等式

广州市广东广雅中学(510160) 徐广华

1 证明函数不等式恒成立的三种思想方法

一般来说,证明函数不等式f(x)＞g(x)恒成立,有如下三种思想方法:

方法一“移项构造函数法”:设F(x)=f(x)−g(x),则f(x)＞g(x)恒成立,等价于F(x)＞0恒成立,若F(x)存在最小值,则等价于F(x)min＞0.

说明尽管F(x)存在最小值,但有些时候方程F′(x)=0的根(极值点)解不出来,此时往往借助零点存在性定理和F′(x)的单调性,先证明方程F′(x)=0有唯一实根x0,然后用“设而不求”的方法,证明F(x)min=F(x0)＞0,这里要利用F′(x0)=0进行转化替换.

方法二“放缩法”:先证f(x)＞h(x)恒成立,再证h(x)＞g(x)恒成立,则有f(x)＞h(x)＞g(x),故f(x)＞g(x)恒成立.

说明若f(x)≥h(x)恒成立,h(x)≥g(x)恒成立,且两个等号不同时成立的话,显然也有f(x)＞g(x)恒成立.放缩法证明的关键是找到一个介于f(x)与g(x)之间的“中介”函数h(x),这里我们称h(x)是函数f(x)与g(x)的“隔离”函数.

方法三转化为证其充分条件:若f(x)存在最小值,g(x)存在最大值,且有f(x)min＞g(x)max,则f(x)＞g(x)恒成立.

说明f(x)min＞g(x)max是f(x)＞g(x)恒成立的一个充分不必要条件.若f(x)min=g(x)max,f(x)min=f(x1),g(x)max=g(x2)且x1≠x2,显然也有f(x)＞g(x)恒成立.若f(x)不存在最小值,或g(x)不存在最大值,可将不等式f(x)＞g(x)适当移项变形,等价转化为φ(x)＞ψ(x)恒成立,若φ(x)min＞ψ(x)max,则f(x)＞g(x)恒成立.方法三也可看作是方法二的特例,其证明流程是:f(x)≥f(x)min＞g(x)max≥g(x),故有f(x)＞g(x)恒成立.这里,f(x)min和g(x)max是函数f(x)与g(x)的两个“隔离”常函数.

以上三种方法中,方法一是通法,思路自然,但极值点解不出来时就比较麻烦;方法二、方法三是巧法,技术含量较高,找“隔离”函数、适当移项变形是难点.

2 放缩法证明函数不等式中常用的重要不等式

一般情况下,我们常利用如下重要结论对函数……