用整体思想巧算代数式的值

2017-06-10 23:10钱霞
初中生世界·七年级 2017年5期
关键词:公因式平方差代数式

钱霞

整体思想就是在研究和解决有关数学问题时,通过把握研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,对问题进行整体处理的思想方法.从整体上去认识问题,思考问题,常常能化繁为简,变难为易,同时又能培养大家思维的灵活性、敏捷性.整体思想在“整式乘法与因式分解”这一章中的主要体现形式有:整体代入、整体加减、整体代换等,下面我们就一起来看看吧.

例1 已知xy2=-1,求-xy(x3y7-3x2y5-y)的值.

【分析】本题根据条件显然无法求出x、y的值,只能考虑在所求代数式中构造出xy2的形式.

解:原式=-(xy·x3y7-xy·3x2y5-xy·y)

=-(x4y8-3x3y6-xy2)

=-x4y8+3x3y6+xy2

=-(xy2)4+3(xy2)3+xy2.

当xy2=-1时,

原式=-(-1)4+3×(-1)3+(-1)

=-5.

【说明】本题在处理单项式与多项式相乘的时候,也可以将-xy看成一个单项式,用-xy与多项式的每一个项相乘,再把所得的积相加.

例2 若m+[1m]=3,则m2+[1m2]的值是( ).

A.7 B.11 C.9 D.1

【分析】本題根据条件虽然是可以求出m的值,但代入求值时非常麻烦.那么我们就想到了将m+[1m]看成一个整体.利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,则(m+[1m])2=m2+2m×[1m]+[1m2],此处m×[1m]=1,再将m+[1m]=3代入即可.

解:∵(m+[1m])2=m2+2m×[1m]+[1m2],

又∵m+[1m]=3,m×[1m]=1,

∴32=m2+2+[1m2],

∴9=m2+2+[1m2],

∴m2+[1m2]=7.故选A.

【说明】本题比较灵活,首先由m+[1m]=3,求m2+[1m2]的值,想到将m+[1m]=3的两边进行平方,套用完全平方公式;其次这里利用到了一个隐含条件m×[1m]=1.

例3 若a、b满足(a+b)(a+b-2)+1=0,则a+b= .

【分析】本题可以考虑求出a、b的值,再代入计算a+b的值,但是我们发现只有一个方程,却有两个未知数,所以这里的a、b无法求出.经观察,我们发现此处可以将a+b看成整体,转化后等号的左边正好是完全平方式.

解:将(a+b)看成整体,原方程可化为:

(a+b)[(a+b)-2]+1=0,

(a+b)2-2(a+b)+1=0,

(a+b-1)2=0,

a+b-1=0,

a+b=1.

【说明】本题的处理结果正好是完全平方公式,所以可以求出a+b的值.大家可以思考,如果等号的左边不是完全平方式,你将怎样求出a+b的值,思考好后,试着完成下面的变式训练:若a-b=1,则求a2-b2-2b的值.

【分析】本题中由a-b=1,不能求得a、b的值,那么观察所要求的代数式a2-b2-2b,可以变形为(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.

解:原式=(a+b)(a-b)-2b

=a+b-2b

=a-b

=1.

【说明】本题是整体代入,在无法求出a和b的值的情况下,应处理所求的代数式,利用平方差公式将其变形出a-b这一整体;本题也可以将a=b+1代入,即原式=(b+1)2-b2-2b=b2+2b+1-b2-2b=1.

例5 已知a+b=7,ab=6,求a2b+ab2的值.

【分析】本题首先想到的是根据a+b=7,ab=6,求出a、b的值,再代入代数式中求得结果;但是经过分析可将a2b+ab2因式分解为ab·(a+b),再将ab=6,a+b=7整体代入可以使问题的解决更简单.

解:原式=ab(a+b),

当ab=6,a+b=7时,原式=42.

【说明】先将代数式因式分解,再通过整体代入是一种求代数式值的常用方法.

例6 将下列各式因式分解:

(1)(x2+1)2-10(x2+1)+25;

(2)16(x+4)2-9;

(3)a(a2-b2)-b(b2-a2).

【分析】重温一下概念,因式分解:把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解.而因式分解首先要考虑的是提公因式,其次考虑套用公式,最后要检查因式分解是否彻底.对于(1)无公因式可提,将x2+1看成整体可先套用完全平方公式,之后再套用平方差公式;(2)无公因式可提,将(x+4)看成整体可套用平方差公式;(3)将其后面的因式b2-a2提取负号后可变为-(a2-b2),再提取公因式a2-b2,接着套用平方差公式.

解:(1)原式=(x2+1-5)2

=(x2-4)2

=[(x+2)(x-2)]2

=(x+2)2(x-2)2.

(2)原式=[4(x+4)2]-32

=(4x+16+3)(4x+16-3)

=(4x+19)(4x+13).

(3)原式=a(a2-b2)+b(a2-b2)

=(a2-b2)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)

=(a+b)2(a-b).

【说明】因式分解的步骤是:一提、二套、三查.我们解决因式分解的题型首先考虑的是提公因式,然后才考虑套用公式,并且一定要检查最后的结果是否已经分解彻底.

整体思想在代数式的化简与求值、解方程、几何解证方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想方法在解数学问题中的具体应用,在以后的学习中大家要注意积累.

(作者单位:江苏省淮安外国语学校)

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