一道学考题的多种解法*

●沈建刚 (萧山中学 浙江杭州 311201)



一道学考题的多种解法*

●沈建刚 (萧山中学 浙江杭州 311201)

浙江省2016年4月的高中数学学考卷第18题，函数式中含分式、绝对值，并带2个参数，同时又复合了“恒成立”与“存在性成立”等不等式问题，是一个考查点丰富、逻辑性要求较高的难题.在解答过程中，笔者发现，该题解法多样、灵活、多变，值得师生认真研究．

学考;恒成立;复合最值

( )

C.(-∞,1] D.(-∞,2]

(浙江省2016年4月高中数学学考卷第18题)

本题中函数式含分式、绝对值，并带2个参数，同时又复合了“恒成立”与“存在性成立”等问题，是一个考查点丰富、逻辑性要求较高的难题.它将中学数学中的函数与不等式问题提到了一定高度.在解答过程中，笔者发现，该题解法多样，各种解法又都围绕高中数学的难点知识，处理方式灵活、多变，这样的题值得师生认真研究．

分析1 这是一个“恒成立问题”与“存在性成立问题”的复合题，分2个层面处理.先处理内层：“存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m”，即f(x)max≥m;再处理外层：“对任意的正实数a和实数b，使f(x)max≥m”，这是关于2个参数的恒成立问题，利用逐一解决的办法，先b恒成立，再a恒成立，若设f(x)max=h(a,b)，即先求h(a,b)关于b的最小值，进一步求关于a的最小值t，则m≤t.

g(x)∈[g(2),g(1)]，

即

g(x)∈[1-2a-b,2-a-b]，于是f(x)max=|g(x)|max=max{|1-2a-b|,|2-a-b|}.设max{|1-2a-b|,|2-a-b|}=h(a,b)，下求h(a,b)关于b的最小值.因为

|1-2a-b|+|2-a-b|≥

|(1-2a-b)-(2-a-b)|=1+a，

图1 图2

解法3g(x)∈[1-2a-b,2-a-b]，将它画到数轴上，如图2所示，g(x)表示的是一个区间，区间长度为1+a，当b变化时，区间在数值上左右移动，但长度不变.因为

分析2 上述3种解法对绝对值的处理方法是一致的，都用到“因为f(x)=|g(x)|，所以f(x)的最大值在g(x)取最大或最小时取到”.也可作下面的处理……