解题中应加强学生的模型辨别
——从一道函数模型问题谈起

筅山东省邹城市第二中学陈玉伟

解题中应加强学生的模型辨别
——从一道函数模型问题谈起

筅山东省邹城市第二中学陈玉伟

高中数学解题千千万，然而若能培养学生模型辨别，则可以解决众多类似问题.例如，高中数学许多问题围绕函数展开.对于同一个函数问题，我们可以有一些相近意思的理解，因此可确定不同的函数模型进行研究，但是由于函数模型结构的差异、参量个数的不同，对于后续研究的难易程度会天差地别.笔者以一道函数问题为例，谈谈这类问题的一般步骤.

一、题目呈现

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

二、解法分析

解：（1）略（2）当a≤0时，g（x）必为单调增函数

当a>0时，令g′（x）=ex-a>0，解得alna

∵g（x）在（-1，+∞）上单调增函数，∴lna≤-1即0

②当a<0时f（ea）=a-aea=a（1-ea）<0，f（-1）=-a>0，且函数f（x）在［ea，1］上图像不间断∴f（x）在（ea，1）上存在零点.另外，当x>0时，f′（x）=-a>0，故（fx）在（0，+∞）单调增函数，∴f（x）只有一个零点.

③0

当00；当x>a-1时，f′（x）<0；

∴x=a-1是f（x）的最大值，且最大值为f（a-1）=-lna-1

（i）当-lna-1=0，a=e-1时，f（x）有一个零点

（ii）当-lna-1>0，0

三、模型提炼方法引申

本题为典型研究函数单调性求函数值域问题，笔者进行研究归纳出高中阶段研究函数三步骤仅供大家参考.（确定函数：确定函数解析式及定义域（研究函数：研究函数性质及图像（解决问题：根据性质解决函数问题.学生学习完导数之后对于给定不含参量的函数解析式均能研究，因此三步骤中最关键的应是第一步：确定函数.

因此笔者根据以几种不同相近的理解，确定几种相近解析式……