数学归纳法在几何解题中的应用

筅湖北省武汉市第二中学张搏翰

数学归纳法在几何解题中的应用

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一、数学归纳法简介

定理1（第一数学归纳法定理）设p（n）表示任意一个与自然数n有关的命题，并满足：若p（0）、p（1）成立，且有p（n）→p（n+1），则对于任意的自然数n，p（n）恒成立.

定理2（第二数学归纳法定理）设p（n）表示任意一个与自然数n有关的命题，并满足p（1）成立，若n≤k时命题成立，可以推导得n=k+1时命题成立，则对于任意的自然数n，p（n）恒成立.

二、数学归纳法在几何解题中的应用

1.数学归纳法在中学几何问题绘图中的应用

数学归纳法在几何绘图中的应用主要在绘制平面几何图形的中心和重心等方面.理论上来说，不管多么复杂的平面多边形，都可以通过尺规作图的方式得到平面多边形的中心和重心.比如，三角形可以通过三边中线的交点得到重心，而四边形则可以通过分别连接两个对点构造两个三角形得到两个重心连线，其交点即为四边形的重心.但是当边数逐渐增多时，很难通过尺规直接绘制平面几何的重心，因此需要用数学归纳法，举例如下：

例1假设平面上现有2n+1个点，试作一个（2n+1）边形，恰好以这2n+1个点为中点.

解析：当n=1时，将上述问题可归纳为：平面上3个点，试作三边形恰以这3个点为中点.此时，将3点分别两两连线，再过每点分别作连线的平行线即可.

假设当平面上有2n-1个点时，可以得到一个（2n-1）边形，恰以这2n-1个点为中点，并假设平面上有2n+1个点A1，A2，…，A2n+1，要作一个（2n+1）边形，恰好以这2n+1个点为中……