谈对一类斜率问题的探究

筅江苏省张家港市沙洲中学戴御梅

谈对一类斜率问题的探究

筅江苏省张家港市沙洲中学戴御梅

在高考和竞赛中，常常出现这类问题：曲线上一定点P引出两动弦PQ、PR，这两弦的斜率之和为定值，则动直线QR恒过定点或kQR恒为定值；平面内与两定点连线斜率之和、差、积、比为定值（不为0）的点的轨迹是什么样的？它们有怎样的性质？下面就这类问题进行探究.

一、与两定点连线斜率之和为定值的点的轨迹及方程

探究1：平面内与两个定点连线斜率之和为定值的点的轨迹.

不妨设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），动点与两个定点连线斜率之和为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线的斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

故由kPF1+kPF2=t可得

即2xy=tx2-tc2，这就是所求轨迹的方程.

那么它的轨迹是什么？

易知x≠0，将2xy=tx2-tc2变形后可得

①当t>0时，其轨迹为双曲线（不含F1、F2两点），且图像关于原点中心对称，存在两条渐近线，其中一条为y轴.t越接近于0，双曲线越弯曲；t→+∞时，图像趋于两条直线.

②当t<0时，其轨迹还是为双曲线（不含F1、F2两点），且图像关于原点中心对称，存在两条渐近线，其中一条为y轴.t越接近于0，双曲线越弯曲；t→-∞时，图像趋于两条直线.

二、与两定点连线斜率之差为定值的点的轨迹及方程

探究2：平面内与两个定点连线斜率之差为定值的点的轨迹.

不妨设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），动点与两个定点连线斜率之差为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线的斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

故由kPF1-kPF2=t可得

所以，其轨迹为抛物线.（同理可得kPF2-kPF1=t也具有类似的轨迹方程，由于篇幅原因，不再讨论，下同）

①当t>0时，其轨迹为抛物线（不含F1、F2两点），开口向下，且关于y轴对称.t越大，抛物线的开口越小；t→+∞时，图像趋于两条直线，两直线在无穷远处交于点