利用方程思想解决几何问题

潘 霞

利用方程思想解决几何问题

潘 霞

著名的数学家笛卡尔在《思维的法则》中提出过一个解决各种问题的“万能方法”：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.方程思想被广泛应用，内涵丰富，是研究数量关系的重要工具.用方程思想解决几何问题，我们要先设未知数，用未知数表示已知量，再通过分析题目中蕴含的等量关系，利用所学的定理、性质等找出等量关系，用方程的形式将其表示出来，从而实现用方程有效地解决几何问题的目的.

一、列方程求角的度数

例1（母子等腰三角形）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，AD=BD=BC，求∠A的度数.

图1

【分析】求角的度数，但题目条件中没有出现任何一个角的度数，那么就需要根据边相等得到角之间的关系，如果我们设∠A的度数为x，则图中其余各角用含x的代数式在图中标出，根据三角形内角和为180°列出方程，从而求得∠A的度数.

解：如图1，设∠A的度数为x，

∵AD=BD，∴∠ABD=x，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x.

∵BD=BC，∴∠C=2x.

∵AB=AC，∴∠ABC=2x.

∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠A=36°.

【点评】等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角和公式、外角的性质、等腰三角形的性质”等找到等量关系，列出方程解决.

二、列方程求线段的长度

例2（母子直角三角形）如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4，求CD的长.

图2

【分析】母子直角三角形，大家非常熟悉，首先利用勾股定理求出AB的长为5.

方法一：等面积法列方程，利用不同方法表示Rt△ABC的面积，建立方程：5×CD=×3×4，求出CD的长.

方法二：勾股定理列方程，将Rt△ACD和Rt△BCD的公共线段CD分别放在两个直角三角形中，设AD=x，则BD=5-x，利用勾股定理表示CD2，建立方程：32-x2=42-（5-x）2，求出CD的长.

方法三：根据相似图形对应线段成比例列方程，由△ACD∽△ABC，得到，建立方程：，求出CD的长.

方法四：根据相等角的三角函数相等，也可以建立方程，将∠A分别放在△ACD、△ABC中，其正弦值相等，得到，建立方程：，求出CD的长.

【思考】你会几种方法解这道题？你觉得哪种方法比较简便？尝试从不同角度去认识这个基本图形，当然方法优化很重要.

三、中考试题掠影

例3（2014·郴州）如图3，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则BE的长为 .

图3

图4

【分析】这是折叠问题，根据折叠性质，得到一些相等的线段、相等的角，同学们可以试着在图上把能表示的线段、角标出来.CF=BC= 10，CD=8，易得DF=6，AF=4，如果设BE=x，则EF=x，AE=8-x，∠EFC=∠B=90°，如图4.

方法一：在Rt△AEF中，利用勾股定理可建立方程：42+（8-x）2=x2，即可求出BE的长.

【点评】善于找到题目中隐含的等量关系是关键，通常我们根据勾股定理、相似三角形对应线段成比例、面积、三角函数等来建立方程.

例4（2015·威海）如图5，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE= 3，求AC的长.

【分析】（1）要求BE=CE，题目告诉我们AB=AC，立刻想到等腰三角形三线合一，只要证明AE⊥BC即可.连接AE，直径AC所对的圆周角为直角.（2）如图6，若BD=2，BE=3，则CE= 3.连接CD，直径AC所对的圆周角为直角，在Rt△BCD中，可求得CD的长，在Rt△ACD中，设AC=x，根据勾股定理建立方程：（42）2+（x-2）2=x2，即可求出AC的长.

图5

图6

【答案】AC=9.

【思考】还有其他方法求解吗？面积法能解吗？这道题我们是根据什么等量关系列方程的？

例5（2015·泰安模拟）如图7，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒.

图7

（1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

【分析】看上去是函数问题，实际上只是几何问题给了一个函数背景，实质还是几何问题.

（1）待定系数法解决；

（2）△APQ与△AOB相似，没有明确对应关系，需要分类讨论，可以分成△APQ∽△AOB或者△APQ∽△ABO，建立方程求出t；

图8

【解】（1）直线AB的解析式为：y=-34x+6.

（2）如图8，∵AO=6，BO=8，∴在Rt△AOB中，根据勾股定理求得AB=10，∵运动时间为t秒，∴AP=t，AQ=10-2t.①若△APQ∽△AOB，则即：，解得（秒）；②若△APQ∽△ABO，则AP=AQ，ABAO即：，解得（秒）.

△AOB相似.

（3）如图9，过点Q作QE⊥AO于点E.

图9

∴在Rt△AEQ中，

∵S△APQ=24，5

解得t=2（秒）或t=3（秒）.

在用方程解决几何问题中，我们要注意：1.先把已知条件标到图中，设未知数，用含未知数的代数式表示其余角或线段；2.利用图形的性质或定理，找到图中蕴含的等量关系，列出方程，解决问题；3.我们平时要有应用方程解决问题的意识，让方程成为我们解决几何问题的好帮手.

小试身手

1.如图10，在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交另一腰AC于点E，若∠EBC=15°，则∠A=______.

图10

2.如图11，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥AC，则CD的长是多少？

图11

3.如图12，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径.

图12

（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）

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