例谈点亮解题教学的三个原则

江苏省南京市第二十九初级中学 陈 静

数学教学离不开解题，数学解题为学生提供了一个应用数学知识，提高数学能力，掌握数学思想方法的平台，因此，加强解题能力的训练尤为重要。数学教师的任务就是把数学知识的传授当成一个载体， 在数学解题教学中，教师要让学生学会读题，解题和反思。笔者结合平时教学中碰到的几个问题谈谈点亮解题教学的三个原则。

一、要把学生的好奇心放在第一位，学生的问题是教师进行学习指导的重要窗口

在解题教学的过程中，许多教师热衷于追求课堂的高密度与快节奏，常常包办代替学生的思维，却忽略了学生对于知识的好奇心。长此以往，形成解题教学只是教师教、学生学的尴尬局面，学生因此失去了对数学的兴趣.

例1：如图，A C=4，点B是线段AC的中点，直线l过点C且与AC的夹角为60°，则直线l上有点P，使得∠APB＝30°，则PC的长为4 或 2.

分析：先找出点P 的位置.由于点P满足∠APB＝30°，学生很容易根据之前的一些画图经验想到构造圆周角∠APB，这样需要先构造圆心角∠AOB＝60°，

如图1，以AB为边长构造等边△AOB，再以点O 为圆心，OA为半径画圆，与直线l交 于 点P1、P2， 则∠AP1B=∠AP2B=∠AOB.下面怎么求P1C和P2C呢？

教学中，有学生说出了自己的思路：连接P1O，立刻发现△AP1C的两个内角都是60，于是△AP1C是等边三角形，P1C=AC=4，则∠OP1P2＝60°，结合

OP1=OP2得到△OP1P2也是等边三角形，所以P1P2＝2，P2C =2.

这里面存在一个关键的问题，连接P1O后，怎么保证P1、O、A三点共线？如果这一点没法保证，那后面的证明全都无效了！这引起了学生极大的好奇心，多数学生没想到自己以为的三角形竟有可能是一个四边形.于是，全班一起研究怎么证明P1、O、A三点共线.有学生尝试利用三角函数的知识解决，有学生尝试用面积法解决，却总是犯循环论证的错误.

最终学生发现了两种解题思路，均可以绕开证明P1、O、A三点共线而解决问题.

思路1：如图2，连接P1O、P2O、CO，由OA=OB=OC，得∠AOB=∠OBA=60°，再 由 O B=O C得∠BOC=30°，于是∠AOC=90°，由sin可推出∠OCB=30°，进而∠OCP1=30°. 过点O作OH⊥直线l，则在△OHC中，可求出在△OH P1中，算出HP1=1，最后得到P1C= 4，P1P2＝2，所以P2C =2.

思路2：如图3，连接P1O.分别过点O、B作OH⊥直线l，BM⊥直线l，易得矩形OBMH.在△B M C中，易算出则在△ O H P1中 ， 由，得∠OP1C= 60°.在△OHP1和△BMC中，可分别算出HP1=1，MC=1，又MH=OB=2，所以P1C=4.

事实上，借着这个思路还可以解决P1、O、A三点共线的问题：延长P1O交线段AC于点A1，则由OB∥P1C得∠BOA1=60°，而∠BOA=60°，因此点A与A1重合。

只有及时准确地发现学生的思维问题，才能更有效地进行解题教学，提高学生的思维水平。 让学生带着疑问并怀有一颗好奇心是让学生更为亲近老师的一种魔力，它超脱了所有的教学技术。学生们的疑问是教师手中最强大的武器。我们如果有胆量去引起学生的疑问，让他们感到困惑，唤起他们真正的思考，并且从他们的问题里，老师可以得到很多信息，来帮助做些调整教学，采用多样化的教学方法。

二、数学解题要勇于面对各种冗杂，数学思维向来严谨，没有似是而非

在解题教学的过程中，面对较为复杂的解题过程时，教师本身要做好解题示范，思考问题时要严谨，书面表达时也要正确规范.

例2：如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点

（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径.

解答：（1）如图5. ⊙O即为所求.

如图6，连接OA，设⊙O的半径为r.可得OA＝OE＝r.

∴OF＝EF－OE＝2－r.

∴在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2.∴r2＝12＋(2－r)2.

如果是这样答题，本题的第二问的6分只能得到3分，因为忽略了一个重要的事实：线段AB的垂直平分线为什么恰好交CD于点E？这样思维是不严谨的。可以采用同一法证明AB的垂直平分线与CD的交点与点E恰好是同一个点。

具体将前面的解题过程修正如下：

如图7，在（1）中设AB的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E'.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠FAD＝∠D＝90.

∴四边形AFE'D是矩形.

∴E'F＝AD＝2，DE'＝AF＝1.

∴点E'与点E重合.

在与学生的交流中，有学生提到在解题时，他们其实已经感觉到过程有点问题了，但觉得证明起来太过繁琐，于是就默认AB的垂直平分线恰好交CD于点E。事实上，学习本身就是一种艰苦复杂的劳动，需要有积极的态度、强烈的动机和浓厚的兴趣才能有好的效果.尤其是数学这门学科，更是培养严谨思维的重要载体，必须用科学的态度面对，没有似是而非.

三、数学解题需要注重实践，更需要注重反思

在解题教学的过程中，常常发现学生做完题目后没有反思的习惯，更没有自我监控和总结的意识。数学教师在教学中，要多注意这方面能力的培养。在解题反思的过程中，学生可以发现自己思维的不足，解题方法的优化，还可以总结出一般性的结论，这是十分难得的思维品质。

解题教学，最终是为了教会学生“思维”。如果通过解题教学，真的能够激发出学生对知识的渴求和好奇心，培养起学生严谨的思维习惯、规范的语言表达，解题后自我反思、总结和提升，一定可以发展学生较高的数学素养，这才是我们数学教师追求的解题教学的真谛。