判断几种不同的初等函数的方法研究

石又尹

摘要：初等函数是最常见的一种函数类型，它不仅包括了一部分常见的简单函数，同时还包括了由这些函数经过有限次四则运算或复合所得到的函数。在中学的学习当中，我对不同初等函数的判断方法是非常基本的，本文主要从初等函数的概念出发，立足初等函数的判断，也对几种不同的初等函数的方法进行研究，为相关的学习提供参考。

关键词：判断；初等函数；方法；不同

在中学数学的学习当中，我们所接触到的函授基本上都是初等函数，因此，怎么样对一个函数进行判断，确定它是否是初等函数不仅是初等函数学习的最基本内容，同时也是为我们大学进行高等数学学习打下的扎实基础。对于初中函数的判断来说，它有一定的方法和推论。如果能够对这些内容进行掌握，就能够帮助我们更好地进行这方面内容的学习。

一、初等函数的概述

初等函数是最常用的一类函数，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，同时还包括了由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。初等函数是中学函数学习的主要内容，常见的初等函数如下：

①常数函数：对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

②幂函数：形如y=xa的函数，式中a为不等于零的常数。

③指数函数：形如y=ax的函数，式中a为不等于1的正常数。

④对数函数：指数函数的反函数，记作y=loga x，式中a为不等于1的正常数.指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax=x。

⑤三角函数：即正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函數y=tgx，余切函数y=ctgx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx。

⑥反三角函数：反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数 y=arc cosx（-1≤x≤1，0≤y≤π），反正切函数 y=arc tgx，反余切函数y=arc ctgx（-∞

二、初等函数的判断意义

在中学，关于初等函数的学习，很重要的一部分学习内容是学会如何对初等函数进行判断，也就是说，要学会掌握方法，判断一个函数是否是初等函数。如果要运用方法对一个函数是否是初等函数进行判断，这是要对初等函数的基本性质进行合理的掌握，同时还要掌握一定的方法，帮助我们快速地进行判断。任何的初等函数，在它自己的定义区间上都是一个连续的函数，如果在大学中进行高等数学的学习，就会知道连续函数的概念是非常重要的，它在微分学、积分学、常微分方程、无穷级数及复变函数中出现的频率都是非常高的，因此在中学阶段学会对初等函数进行判断是非常重要的，也是基础内容[1]。

三、判断几种不同的初等函数的方法研究

1、用定义法来判断已知的函数是否是初等函数

从初等函数的定义出发，利用定义来对一个函数进行判断，是初等函数判断方法当中最基本的，也是检验我们对初等函数概念掌握情况的一个重要方式。从初等函数的定义出发，我们可以知道，有常数函数、幂函数、三角函数等基本的初等函数通过有限次四则运算或者函数的复合所得到的函数也是初等函数，并且复合型的初等函数是考试中最常考的题目。在对这类型题目进行解答的时候，首先要对复合的函数进行合理的结构明晰，要清楚地知道它是有哪些函数进行复合所得到的，这些参与复合的函数是否是初等函数，同时还要对这个复合所得到的函数是否有意义进行判断，如果它是没有意义的，那么它就不是初等函数。此外，还要掌握一些基本的非初等函数类型，例如高斯函数、狄里克雷函数和黎曼函数。

2、对分段函数是否是初等函数进行判断

分段函数也是高中函数学些常见的内容，那么分段函数是否是初等函数？如果不是，怎么样的分段函数才是初等函数，也是同学们要掌握的知识。这个时候我们就需要掌握两个基本的推论，第一个推论是初等函数的绝对值是初等函数，第二个推论，是基本的初等函数，它的绝对值函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数也是初等函数。简单点来说，就是我们对分布函数进行判断的时候，可以采用变形的方式把它转换成含有基本初等函数，绝对值函数有现身四则运算或者复合运算法一个具体的表达式，然后再利用上面的这两个推论来进行判断，确定它是否是初等函数[2]。

3、其它的判断方法拓展

除了使用上述两种方法来对初等函数进行判断之外，还可利用连续性来进行判断，如果一个分段函数在它的定义上是连续的，那么它就是初等函数，反之则不是初等函数。由于在中学的学习当中，关于函数连续性的学习是非常有限的，这是大学高等数学所重点学习的内容，也是数学专业基础性学科《数学分析》的学习重点，因此对于这部分内容的学习，同学们可以进行有选择性的开展，在有条件的情况下可以进行适当的补充和了解，这样才能够更好的帮助我们对初等函数进行判断。

四、结语

综上所述，函数是数学中的重要组成部分，也是非常重要的一部分内容，在中学我们所接触到的函数都是初等函数，但是如何对函数进行判断确定它是否是初等函数是非常重要的，是检验我们对初等函数的基本性质是否掌握得当的一个有效途径。

参考文献：

[1]徐俊芳.初等函数的判定方法[J].商丘职业技术学院学报，2005，4（5）：19-20

[2]盛天钧，冯杰.分段函数为初等函数的判定定理[J].镇江高专学报，2001，14（2）：69-72