直角坐标系中两条直线的特殊位置关系的特点及其应用

湖北省孝感市大悟县四姑镇中学 吴胜祥

直角坐标系中，有两条直线，设y1=ax+ m, y2=bx+n ，有时，a=b；y1⊥y2时，ab=-1。反之有：a=b时，y1Py2；ab=-1时，y1⊥y2。下面利用这些性质解题。

一、利用一次函数一次项系数相等证明两直线平行

例题：已知直线为y=2x+3与双曲线的图像交于A、B两点，A在第一象限，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥x轴于F，连接EF。（1）求证：AB//EF。（2）求△ABE的面积。

解：（1）由得

∴A（1,5）

又AE⊥y轴于E，∴E（0,5）。BF⊥x轴于F，∴F0）。

设yEF=k x+b，∴b=5

∴k+b=0 ∴k=2

∴yEF=2 x+5

又2=2 ∴yEF∥yAB，

即AB||EF。若E在x轴上，F在y轴上，同理AB||EF。

（2）

二、利用两个一次函数的一次项的系数互为倒数证明两直线垂直

例题：（2015年湖南衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM。

（1）求抛物线的函数关系式.

（2）判断△ABM的形状，并说明理由。

解：（1）∵A在x轴上且在直线y=x+1上

∴A（-1,0） 又B在直线y=x+1上且横坐标为2，则B（2,3），又抛物线顶点M在y轴上，设y=ax2+k 有

∴抛物线y=x2-1

（2）有y=x2-1知顶点M的坐标为（0，-1），设yAM=k x+b过点M，∴b=-1，又过A（-1,0）∴-k-1=0 k=-1。∴直线yAM=-x-1。又1×（-1）=-1，∴AM⊥AB ∴△ABM是直角三角形。

三、利用两直线垂直的特点求坐标系中矩形折叠问题的点的坐标

例题：（2015，北海）如图在矩形OABC中，OA=8，OC=4.沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E。求点D的坐标

解：∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=4.

∴B（8,4） A（8,0）∴,又A与D关于OB对称。

∴A D⊥O B。设yAD=-2x+b过 A（8,0），

∴0=-2×8+b ∴b=16

∴yAD=-2x+16。

又由折叠性质知B E=O E，设CE=x，则OE=BE=8-x。又∠OCE=900O C=4，∴(8-x)2=x2+42∴x=3∴E（3,4）。∴令-2x+16，得。又时，∴D点坐标为。

四、利用两条直线垂直的特点求直线与抛物线交点的坐标

例题：如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于和B( 4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过P点做PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C。（1）抛物线的解析式。

（2）求△PAC以A为直角顶点时点P的坐标。

解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴B（4,6）

又且A、B在抛物线y=ax2+bx+6上，

则有：

得

∴抛物线y=2x2-8 x+6。

（2）∵P在AB上，PC||y轴交抛物线于C

∴△P A C是以A点为顶点的直角三角形时，A B⊥A C。又yAB=x+2，设yAC=-x+b ，过∴∴b=3 ∴yAC=-x+3.令2 x2-8 x+6=-x+3得（舍去）.x2=3又x=3时，y=x+2=5，所以△PAC以A点为直角顶点时P点的坐标为P（3，5）。……