为学生创造“微探究”的机会

●

(南京市第二十九中学 江苏南京 210036)

●龙艳文

(南京市教学研究室 江苏南京 210018)

●刘权华

(南京市教育科学研究所 江苏南京 210002)



为学生创造“微探究”的机会

●郭建华

(南京市第二十九中学 江苏南京 210036)

●龙艳文

(南京市教学研究室 江苏南京 210018)

●刘权华

(南京市教育科学研究所 江苏南京 210002)

文章通过采取弱化条件、以退求进、编制相似题组等策略，为学生创造微探究的机会，以此激发学生的学习兴趣，激活学生的思维，达到破解难题的目的，将微探究落在实处.

交流互动；激活思维；微探究；提升能力

微探究是以问题为导向，以学生已有的知识和经验为基础的教学探究活动.微探究切入点的选择必须微小而有探究的价值，要能在激活学生思维处设问，要具有操作的可行性，关键还在于探究的“微化”处理.教师要为学生创造“微探究”的机会，要让微探究成为学生将知识转化为能力的重要载体.特别是对于一些思维量较大的题目，教师更应该为学生创造微探究的机会，同时积极引导学生进行反思，将相似题组的教学融合到习题讲评中，改变传统的习题讲评形式，从而激发学生的兴趣，激活学生的思维，活跃课堂的气氛，以此培养学生的合作精神和创新能力.用教师的教学智慧让习题讲评课堂变为开放的课堂和灵动的课堂，实现师生思维交流，实现共同发展目标．笔者以江苏省南京市高二期末检测卷中一道函数试题的微探究教学为例，作了一些新的尝试和探索，整理成文与读者共飨.

1 问题提出

题目已知t>0，函数

本题以分段函数为背景，以复合函数的零点个数问题为载体，蕴含了等价转化、数形结合、函数与方程等数学思想，并非怪题、偏题，其背景熟悉平和，表达简洁清楚，考生们很容易接受.本题实现了对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，能较好地甄别学生的思维水平和提升学生的数学核心素养.本题的命题特色如下：一是动静结合，化动为静；二是化繁为简，实现质的突破.这2点既是本题的亮点，也是难点.

2 考情分析

笔者所任教的班级共有58名学生，据统计显示只有10名学生做出正确答案.因此，教师要认真分析学生存在的问题，并以此制定适合学生的教学设计，为学生创造“微探究”的机会，培养学生研究和解决问题的能力.

教师应充分了解学生解决该问题的知识储备和方法掌握情况，调查学生的典型解法和错误，分析解法形成的思维过程和错误产生的根源.学生解答本题的障碍主要有以下两个方面：一是心理障碍，认为最后一道填空题肯定比较难，因此心存畏惧感，有部分学生甚至没去思考就放弃了；二是运算能力，运算能力差在学生中比较普遍.为了真实地了解学生解题时的思维轨迹，为了让习题教学更有效，让更多的学生做到思维上的参与，教师要求学生在试题讲评之前还原自己的想法，并尝试做出正确答案或者做出更好的解法，并在课堂上交流.

3 试题讲评

试题讲评时教师要引导学生对求解目标进行多视角分析，不断为学生搭建思维的平台，让更多的学生参与到课堂中.借助师生对话，激活学生思维，引发认知冲突，让学生的认识由感性上升到理性，以此沟通知识间的联系.同时在互动交流中发现问题和提出问题，用数学的方式思考问题和解决问题，提炼数学思想方法，在学生的“最近发展区”内引导探究，达到“解一题，通一类”的效果[1]，使数学学习成为再发现和再创造的过程.

3.1 创造探究机会，以退求进

数学课堂设计借试题“发挥”，采取以退求进的策略，将题目化难为易，消除学生对难题的畏惧感，其目的是扩大其“最近发展区”，为顺利解题做好铺垫，为学生思维搭建脚手架，让学生尝试成功的喜悦，同时调动学生探究的积极性，拓展学生的思维，提高习题讲评效率.

3.1.1 化动态为静态，促进理解

探究1已知函数

则函数g(x)=f(x)-1的零点个数为______.

师：大家对分段函数还是比较熟悉的，应该能画出它的函数图像，请大家思考什么是函数的零点？

(教师给学生充分的时间进行思考，让他们回归基本概念，然后让学生回答.)

生1：一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.

师：还有其他的表述方式吗？

生2：函数y=f(x)的零点也是方程f(x)=0的实根，从图像上看，它也是图像与x轴交点的横坐标.

师：如何求解呢?

生2：显然要画出函数y=f(x)的草图，令g(x)=f(x)-1=0，即f(x)=1，然后求直线f(x)=1与函数图像交点的横坐标即可.

评注在讲评难题时，首先要弄清题目所涉及的基本概念和思想方法，然后降低问题的重心，为学生搭建思维的台阶，让所有的学生都参与进来，体会成功的快乐，增强他们破解难题的信心和勇气.有了一个突破，再实现更大的突破，以便取得实质性的进展.通过编制相似题组的形式组织教学，在思维对话中加深学生对问题本质的理解，真正让学生的思维“活”起来.

3.1.2 编制相似题组，深化理解

探究2已知t>0，函数

若函数g(x)=f(x)-t恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______.

生3：借助刚才的函数图像，观察发现只要令t=0或t=4即可.

师：很好，还可以怎样改编这道题？请大家说说.

生4：已知t>0，函数

若函数g(x)=f(x)-t恰有一个零点，则实数t的取值范围是________.

师：很好.只要肯动脑一定会找到解题的突破口，还有其他的改编途径吗？

生5：目标也可以设置为：若函数g(x)=f(x)-t恰有3个不同的零点，则实数t的取值是______.

师：函数g(x)=f(x)-t零点的个数会超过3个吗？

生6：令g(x)=f(x)-t=0，则函数y=f(x)与y=t的图像至多只有3个不同的交点.

师：怎样改编才能使得函数g(x)=f(x)-t的零点个数超过3个？

此时，学生们兴奋不已，他们对这个问题还是比较感兴趣的，教室里的气氛相当活跃，于是笔者干脆放手让学生们去讨论，解决的关键是如何将静态问题变为动态分析.教师巡视观察，了解学生的思维动向，有的学生从函数图像的角度分析，有的学生从参数的角度分析等.另外,教师在一定程度上给予思维存在困难的学生以引导和帮助，让学生有充裕的时间思考，然后展示他们的成果.

生7：若将函数改为

则可以做到.

师：很好，从改变函数图像的角度分析，还有其他想法吗？

生8(兴奋地站起来)：老师，也可调整目标函数的类型，将g(x)=f(x)-t改为二次形式g(x)=f2(x)+tf(x)+t，即若函数g(x)=f2(x)+tf(x)+t恰有6个不同的零点，求实数t的取值范围.

师：很好，请你说说是怎么想到该改编.

生7：由零点的定义想到的，函数y=f(x)的零点也是方程f(x)=0的实根，从方程的角度考虑，只要目标对应的方程为高次方程，才可能产生多个不同的根，即存在两条平行于x轴的直线与函数图像相交，因此想到构造二次形式.

师：非常棒，大家明白了吧，我们又取得了新的突破，那么应该如何求解呢？

评注只有深刻理解题意，才能做到多角度、多方位的思考，才能突破思维定式的束缚，才能实现创新思维和求异思维.教师要为学生创造探究的机会，调动学生的积极性，以学生的认知水平设计一些螺旋上升的问题引领学生思考，在教师的指导下用数学的方式分析和解决问题，以此提升学生的数学核心素养.

生8：先令m=f(x)进行换元，转化为一元二次函数问题，结合函数y=f(x)的图像，再利用一元二次方程根的分布求解t的范围.

教师投影生8的解题过程：

师：生8的解答告诉我们如何处理复合函数零点的个数问题，以及二次函数所对应的根的分布问题.请同学们思考求解该类型题的关键是什么？

生9：换元是求解本题的关键.

评注教师让学生们分组讨论求解该问题的方法和技巧，从认知策略的角度引导学生进行反思，从而让学生经历自主探究的过程.在分析问题和解决问题的过程中，充分发挥教师的主导作用，激发学生的主观能动性，让学生的思维跃上更高的层次.

3.2 探究求解途径，水到渠成

生9：受生8的启发，也可以改成另外一种复合函数的形式“若函数g(x)=f[f(x)-t]恰有6个不同零点，求实数t的取值范围”，也就是用换元法求解.

师：这样的改编与原题很相近了，该改编与原题的差异在何处？

生10：老师，只要将引进的参数的位置改变一下就可以了，让分段函数自变量的分界点变成参数就达到目的了.

师：那么如何求解呢？

生10：利用导数画出函数y=f(x)的图像，借助于换元法将原问题转化为研究目标函数所对应的方程根的问题.令m=f(x)，即f(m-1)=0，由函数图像易得m-1=0或m-1=t，即f(x)=1或f(x)=t+1，然后用直线y=1和y=t+1去截函数的图像即可.

师：有了前面的铺垫，解这道题便水到渠成了.

教师投影学生10的解题过程：

解之得3

学生们的疑惑终于解决了，教室里响起一片掌声……

3.3 反思解题路径，举一反三

师：下面通过一道练习题，来巩固刚才大家的学习成果.

练习1已知函数f(x)=x3-3x，设h(x)=f(f(x))-c，其中c∈[-2,2]，求函数y=h(x)的零点个数．

4 教学启示

4.1 通过为学生创造“微探究”的机会教会学生学会选择

有研究表明，中学生的数学学习选择能力是影响学习成绩的重要因素，二者有着比较高的正相关，并且相关性显著[2]．通过对试题的分析，找到学生的薄弱点和知识缺陷，选择恰当的学习材料进行弥补，采取弱化题设条件来分解目标；通过改编相似题组，层层递进设问，以致各个击破.在解题中教会学生选择思考问题的视角、选择恰当的解题策略、选择简洁的运算路径等，使学生对自己的薄弱环节进一步强化.在教师的引导、指导和帮助下，让学生学会选择，通过相似题组的设计和讲评，让学生掌握的不是一道题而是一类题，以此达到在以后的解题中对知识和方法的提取、整合和选择.通过教师的精心备课和巧妙设计，最大限度地激发了学生的学习热情，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

著名教育家叶圣陶先生曾说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学.”如何教会学生选择是我们要思考的问题，教师的精心备课是前提，找到合适的抓手是手段.教师要教会学生学会选择，让学生逐渐成长为一个独立的学习者，让微探究教学更具有价值和意义.

4.2 通过为学生创造“微探究”的机会提升核心素养

如何设计试题讲评课才能更好地提升学生的数学核心素养？首先，要降低教学的重心，把知识问题化；其次，要充分了解学生的知识结构和认知水平；最后，要立足维度(即要考查哪些主干知识和技能)，立足梯度(即考查要有递进性，具有提升学生思维的功能)，立足相关度(即相似题组的设计要具有知识上的交汇性，解题方法上的选择性等).

课堂上教师应尽量尊重学生的想法，充分暴露他们的思维，通过为学生创造“微探究”的机会，激活其原有认知结构中适当的观念和感性经验，调动学生有意义的学习倾向[3].这样做不仅让学生获得了具体问题的解法，而且让他们体验了数学思想方法，加强了学生对知识和解题方法的掌握.习题讲评课的设计要为学生服务，更重要的是应站在学生的角度设计问题，调动学生学习的主动性和积极性，在以相似题组为载体的习题讲评课中提升数学核心素养.

[1] 郭建华.对一道江苏高考试题的解法赏析和变式探究[J]．中学教研(数学)，2017(1):38-41.

[2] 徐利治.徐利治谈数学哲学[M]．大连：大连理工大学出版社，2008.

[3] 郭建华.习题变式教学在思维对话中进行[J]．中学教研(数学)，2016(10):6-9.

笔者从一道常见的选择题出发，对它进行多角度的思考与挖掘，以提升学生思维的广度和深度，从而达到培养数学核心素养的目的.

( )

A．(0,1) B．(1,2]

C．(-1,0) D．[-2,-1)

思路1(坐标法)本题的条件是平面向量形式，借助于平面直角坐标系，可以将平面向量“坐标化”，将平面向量的运算转化为代数运算，从而将抽象问题具体化，陌生问题熟悉化.

图1

得

从而

进而

故

-2≤x+y<-1.

评注在充分理解运算对象的基础上，选择了用坐标表示向量的合理方法，将双变量的范围问题转化为单变量的三角函数的范围问题，从而利用三角这一强大的工具来解决问题，有利于培养数学运算核心素养.

思路2(数量积法)同上所述，解决本题的关键是如何将双变量问题转化为单变量问题，那么，除了上述方法，还有别的途径吗？学生们注意到题目的条件是向量，那么能否通过向量运算来消元呢？

式(1)+式(2)，得

以下同思路1.

评注利用条件本身的结构形式，构造出新的相关条件，从而找到了较为简便的方法.学生们从事实出发，依据逻辑规则，找到一些重要信息，如式(1)和式(2).这是得到数学结论、构建数学体系的重要方法，是数学严谨的基本保证.

图2

思路3(共线法)题设条件与平面向量中三点共线的向量形式相似，因此有学生运用三点共线的关系来求解.

1<|x+y|≤2，

又△ABC是为锐角三角形，故

-2≤x+y<-1.

评注平面向量本身具有几何的特性，它的加、减、数乘及数量积的运算均具有几何意义.而学生面对复杂的问题，若能透过现象看本质，从知识之间的联系，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，则有利于培养逻辑推理核心素养.

即 1=x2+y2-xy.

(3)

根据式(3)的结构特征，又有以下3种思路:

思路4(基本不等式法)因为式(3)中同时含有x2+y2和xy，所以可以考虑用基本不等式来求解.

将式(3)配方，得

1=(x+y)2-3xy，

从而

因为x<0，y<0，所以

1<(x+y)2≤4,

即

-2≤x+y<-1.

思路5(三角换元法)因为式(3)可以配成平方和等于1的形式，所以可以考虑三角换元.

将式(3)配方，得

故

-2≤x+y<-1.

评注思路4和思路5通过对新命题“x2+y2-xy=1”的研究，设计出了合理的运算程序，探究出了合理的运算方向(配方、三角换元)，从而得到了合理的运算方法.养成程序化思考问题的习惯，这就是数学运算核心素养.

思路6(曲线与方程的思想)方程x2+y2-xy=1表示一条曲线，而x+y=t表示一条直线，因而可利用直线与曲线有交点来思考本题.

令x+y=t，消去y得

3x2-3tx+t2-1=0.

因为x<0,y<0，所以方程在(t,0)上有解，从而

于是

-2≤t<-1，

即

-2≤x+y<-1.

评注由于平面向量的几何属性，使得其与解析几何有着不可分割的联系.学生能在实际情景中提出问题，运用已有知识解决问题，有利于提升应用能力，增强创新意识.

思路7(特例法)俗话说：“八仙过海，各显神通.”如果对以上6种方法都不太在行，那么就大胆地用特例来甄别答案吧.

评注本着小题不大做的原则，确实可采用特例来排除，从而得到正确答案.虽然思路不严谨，但对四选一的数学选择题来说还是管用的，而且作为核心素养的逻辑推理，确实也需要提升从特殊到一般的推理能力.

图3

评注本思路涉及斜坐标系的规划问题，可能学生是凑巧用截距的方法做对了(因为斜坐标系下的截距与直角坐标系下是一致的，而斜率就不一样)，这里学生能发现问题，并建立数学模型解决，这对提升数学建模能力是大有裨益的.

由此，可以这样认为：一方面,数学核心素养具有数学的基本特征；另一方面,它是后天形成的，而且可以通过数学学习过程培养的能力与思维品质.数学核心素养主要体现在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思中，它是在过去“三大能力”的基础上逐步发展形成的.

参考文献

[1] 林崇德．面向21世纪的学生核心素养[M].北京：北京师范大学出版社,2016.

江苏省南京市教育科学“十三五”规划2016年度课题(L/2016/076)；江苏省教育科学“十三五”规划2016年度“教师发展研究专项”课题(J-c/2016/12)

郭建华(1982-)，男，安徽宿州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-07-04