由贝特朗概率悖论得到的一个有趣现象

●

(温州华侨职业中等专业学校 浙江温州 325000)



由贝特朗概率悖论得到的一个有趣现象

●徐新

(温州华侨职业中等专业学校 浙江温州 325000)

文章通过对贝特朗概率悖论分析，发现这样的概率模型，其样本空间可以是一维直线的区间，也可以是二维平面的区域.究其原因，是因为随机变量函数具有特殊的性质，构造出类似的随机变量函数，可以得到类似的概率模型.

贝特朗概率悖论；几何概型；随机事件；样本空间

贝特朗概率悖论(下文简称悖论)由贝特朗于1889年提出，它说明这样一个原理：解决一个实际问题的时候，必须建立无歧义的概率模型[1].事实上，因为该悖论对问题的表述含糊，从而造成理解上的歧义，所以其本身并不能直接求解.为此，我们必须先将其含糊的表述加以明确，得到确定的随机试验，从而建立无歧义的概率模型，再对相应的概率模型进行求解.

通常对“在圆内任作一弦”进行明确，可得到多种不同的随机实验[2].笔者讨论以下两种情况的概率模型：1)弦的两个端点都是在圆周上随机地取；2)弦的一个端点固定在圆周上，另外一个端点在圆周上随机地取.

图1 图2

解如图1所示，依据圆的参数方程，设A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，其中α,β∈[0,2π],从而样本空间为[0,2π]×[0,2π].由题意，

对应区域是图2中的阴影部分.由几何概型的定义，得

解法1依据圆的参数方程，设A(cosα0,sinα0)，B(cosβ,sinβ)，α0是区间[0,2π]上取定的值.由点B的随机性，知β∈[0,2π]，因此样本空间是[0,2π]．此时，

下面根据β的取值范围求解:

图3 图4 图5

模型2的解法1与模型1的解法形成比较，表述较为复杂，下面给出模型2的简洁解法.

图6

在模型1的解法中，记

η=f(α,β)是随机变量，α,β是[0,2π]上均匀分布的随机变量.类似模型1的求解，可求得其概率分布函数

在模型2的解法中，记

不难看出，上述两个概率分布函数是同一个函数.

因此，如果在悖论中将“在圆内任作一弦”明确为“在圆周上取两点任作一弦”，就可以得到确定的概率模型，即下面的模型3.

模型3有两种解法：1)参照模型1的解；2)参照模型2的解.如果把悖论中“在圆内任作一弦”错误地理解为“在圆周上取两点任作一弦”，那么就会认为该悖论有解.这就使悖论更具迷惑性.

值得注意的是：所得概率值相同，并不意味着概率模型一定可以放到两个不同维数的样本空间上.

模型4甲和乙两人相约在上午8～9点之间在某地见面，问甲、乙到达某地的时间差的绝对值落在区间(20,40)上的概率.

图7

如果在区间[0,60]上任意取定一个值x0，y依然是[0,60]上的均匀随机变量，则得到下面的模型4′.

模型4′ 甲和乙两人相约在上午8～9点之间在某地见面，现已知甲在x0时刻到达了某地，问甲、乙到达某地的时间差的绝对值落在区间(20,40)上的概率.

事实上，在上述模型4中，只要甲、乙到达某地的时间差的绝对值所在区间关于30对称，那么相应的随机事件在模型4和模型4′中，计算所得的概率值相等.如果时间差的绝对值所在的区间不关于30对称，比如(10,40)，那么相应的随机事件在模型4和模型4′中，计算所得的概率值就不会相等.在模型4中，令z=|x-y|(其中x,y∈[0,60])，那么可得到其概率分布函数是

在模型4′中，令

x0是[0,60]上取定的一个值，则可得到其概率分布函数是

显然，这两者的概率分布函数不是同一个函数.因此，尽管计算所得的概率值相同，但模型4的样本空间只能是区域[0,60]×[0,60]，模型4′的样本空间只能是区间[0,60].

两个模型中的概率分布函数是

同样，在离散的情况下也有类似现象.

模型6将一枚色子投掷两次，记第一次得到的点数为α，第二次得到的点数为β，求g(α,β)=-||α-β|-3|+3的值大于1的概率.

样本空间是我们所熟知的36个数对构成的集合，对应的概率分布列如表1所示.

表1 36个数对构成的样本空间所对应的概率分布列

(注：这里的分式没化成最简分式，是为了与下面的分布列作比较.)

2017-04-09；

2017-05-10

徐 新(1979-)男，江西鄱阳人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122

：A

：1003-6407(2017)07-24-04