巧用一题多解培养学生能力

张亚红

【关键词】 数学教学；高考题；解法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2017）12—0118—01

提高学生的数学思维能力是高中数学教学的基本目标之一.如何通过解题活動来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题.但过多过密盲目地解题不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而会使学生疲劳，兴趣降低。而一题多解无疑是激发学生兴趣、培养思维能力的一种十分有效的方法.下面，笔者谈谈2016年甘肃高考数学（理）第20（II）的三种解法.

已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A、M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4时，AM=AN时，求△AMN的面积；

（II）当2AM=AN时，求k的取值范围.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）略

（Ⅱ）设M（x1，y1），将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示AM.同理用k表示AN，再由2AM=AN求k.由题意t>3，k>0，A（-，0）

1. 从一般方程入手.将直线AM的方程y=k（x+）代入+=1得（3+tk2）x2+2k2tx+t2k2-3t=0

由x1（-）=得x1=，故AM=x1+=.

由题设知，直线AM的方程为y=-（x+），同理可得AN=，

由2AM=AN得=，即（k3-2）t=3k（2k-1）

当k=时上式不成立，因此t=，t>3.等价于，=<0

即<0，由此得k-2>0k3-2<0或k-2<0k3-2>0，解得

因此k的取值范围是（，2）

2. 从椭圆的参数方程入手.椭圆+=1的参数方程可设为x=acos？琢y=bsin？琢，可以设M（cos？琢，sin？琢），N（cos？茁，sin？茁），则=k，=？鄄，得（k2t+3）cos2？琢+2k2tcos？琢+k2t-3=0和（3k2+t）cos2？茁+2tcos？茁+t-3k2=0，解得cos？琢=，cos？茁=

由2AM=AN得：

2=

，即

2=

，化简得2k（cos？琢+1）=cos？茁+1，得2k（+1）=+1，则=t>3，解得？荞k？荞2.

3. 从直线的参数方程入手.若直线的倾斜角为？琢，过定点（x0，y0），则直线的参数方程可设为x=Tcos？琢+x0y=Tsin？琢+y0T代表向量（x-x0，y-y0）的长度，当y-y0<0时，T<0；当y-y0？莛0时T？莛0.因k>0，直线AM、AN都过点A，则M的坐标为（T1-，T1），N的坐标为（-T2-，T2），将M、N分别代入E可解得T1=，T2=-，又根据题意和T1、T2的几何意义，T1>0，T2<0，T2=-2T1，所以-=-2