一道高考试题的解法分析与命制背景
——2016年天津市高考数学理科第20题

浙江省宁波市镇海区龙赛中学 (315200) 梅 洁

一道高考试题的解法分析与命制背景
——2016年天津市高考数学理科第20题

浙江省宁波市镇海区龙赛中学 (315200) 梅 洁

1 试题呈现

已知函数f(x)=(x-1)3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R.

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证x1+2x0=3；

2 试题简评

本试题表述严谨，朴实无华，解法灵活.题目3个小问，呈现平和自然，问题与问题之间相互联系，层层递进，易于激发学生解决问题的兴趣.作为一道压轴题，以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数性质(单调性、极值、最值)与证明不等式中的应用，充分考查学生推理论证能力和数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.第Ⅰ问属于学生较熟悉的题型，考查导数与函数单调性的关系、考查分类讨论的数学思想.第Ⅱ问考查导数与函数极值之间的关系以及考查三次方程的根与系数之间的关系.第Ⅲ小题是一个证明题，解决三次函数的最大值的最小化问题，此问题的实质是函数的逼近问题，是第一类切比雪夫多项式的一种特殊情况，该问题是近几年高考、联赛中的热门问题，其背景深厚，内涵丰富，要求具有较强的运算能力，灵活的转化与化归思想.总体上，试题设计立意鲜明，角度宽，视点多，充分体现了“以能力立意为指导，考查能力和素质”的命题原则.

3 试题解析

3.1 第(Ⅰ)小题的分析与解答

第Ⅰ问求原函数的单调区间，可转化为导函数的零点分布问题，可采用分类讨论，也可采用参数分离，这2种方法是解决函数单调性……