含根式递推数列的求解策略

广东省梅州市梅县区高级中学 (514011) 梁 奋

含根式递推数列的求解策略

广东省梅州市梅县区高级中学 (514011) 梁 奋

在各级各类的数学竞赛中经常出现含有根式的递推数列的试题，这类题往往结构复杂，方法多变而成为竞赛的难点，本文对此类题作一些探究和分析.

1.配方

2.换元

例2 (2009全国高中数学联赛山东预赛)

评注:本题表面上看和例1差不多，但仔细观察后发现利用配方法不凑效，对根式进行整体换元，问题便化为一个等差数列问题，也就迎刃而解.

3 平方

(1)证明:数列{an}是正整数数列;

(2)是否存在m∈N*,使得2015|am,并说明理由.

(2)略

评注：处理根式的最直接的方式就是平方，例3、例4很好的体现了这一点.去除根号后，可用因式分解或韦达定理化为二阶常系数线性递推式，进而求解.

4 取对数

评注:运用取对数的方法，可将含有指数式或根式的递推式化为一阶线性递推式.

5.变形

所以通项公式

6 先猜后证

A.1B.2C.5D.6

证明：①当n=1时，a1=5×21-1+1=6，命题成立;

评注:通过猜想归纳得出数列通项公式，然后用数学归纳法证明，是解决递推数列问题的一种常用手法，也是探究新知的一种重要手段.

通过以上几例，我们发现含根式递推数列的求解，关键在于通过恰当的数学变换，使问题转化为我们熟悉的数列问题.因此，在探究问题的过程中，我们要认真细致观察，大胆探索，并找出恰当的方法，使问题得到圆满的解决.