关于复变函数课程教学的几点思考

钟澎洪+陈静安

摘要：复变函数是数学系课程体系中的一门重要的专业基础课。在教学中，由于该门课的内容专业性强，且知识、定理体系较为复杂，导致了教学效果不容乐观。结合自身的教学实践与学生的学习反馈，给出了如何提高课堂教学效果，让学生掌握知识，并加深对知识的理解与运用的几点建议。

关键词：复变函数；教学；比较法

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）27-0188-02

复变函数[2，3]是数学专业一门重要的基础课，也是衔接数学分析的一门后续课程，与实变函数论可并列为分析类的一门重要课程。该课程可列为分析类的三大基础课程之一。尽管复变函数的知识定理结构表现在许多性质、概念、定义与数学分析[1]课程有着相同之处，又与它在某些方面有着实质不同。在实际的教学过程中，教师和学生都会感到该课程具有内容多、知识定理演绎体系庞杂、思想方法技巧性强、应用广泛等特点，这给教师的教学还有学生的学习都带来了一些的困难。这门课的教学实践中，学生普遍反映概念难懂，习题难做。在这样的情形下，我们高校教师尤其是年轻的教师应该如何提高该课程的教学效果呢？笔者根据复变函数学科的知识特点及实践中的教学体会，对于提高本课程的教学的有效性，给出以下几个方面感悟与思考。

一、在教学中注重数学史和学科背景的渗透

复变函数的理论有着历史渊源和应用的背景，适当地讲解该学科的历史和相关的背景知识，有利于学生对该门科了解，激发学生学习的热情与兴趣。当然，由于课时的限制，教师不可能花较多的时间去介绍这方面的知识。此时，要特别注重在讲解相关知识点的时候，给予适当的学科历史和背景的介绍，要在非刻意中，潜移默化地让学生了解这方面的知识。

例如，在讲解“C-R条件”时，可以适当地介绍该方程的发现的历史。介绍该条件由来时，说明是柯西和黎曼研究流体力学时，对该方程做了更详细的研究，从而命名的。该方程组的发现可追溯到欧拉，甚至是达朗贝尔。该方程最早是由法国数学家达朗贝尔在流体力学中的研究中得到的；另外，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分，也导出了的这两个方程。在讲Cauchy积分公式时，让学生们思考如何测得球体中心点电额这一问题。若能测得球体表面各点的电额，则可利用Cauchy积分公式来测得球体中心的电额；讲保角映射时，可提到俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用该方面的知识解决了飞机机翼的结构问题。

在复变函数的教学中，可以适当穿插数学史；另外，让学生了解该学科在其他自然科学和各种工程领域，如理论物理、弹性理论、天体力学等方面有着广泛的应用。使学生真正感受到课程的理论方法的历史和应用，从而充分调动学习的主观能动性。[4]

二、运用类比教学法帮助学生构建知识体系

在复变函数教学中，类比思维有利于在较短的时间内吸收和掌握知识，并能培养学生的数学思维能力。在课堂的教学中，要充分引导学生去找寻和发掘复变函数与数学分析中的定义、定理的异同。要使学生不但能看出显而易见的相同，也要让他们看出知识的异中之同或是同中之异。有了这种较有深度的认知，可以加深学生对复变函数概念、公式、定理的记忆，更能加深学生对知识的理解，培养学生独立思维的能力。

类比教学的例子非常多，可以说复变函数的整个知识体系和数学分析是大体一致的，当然，相似之中也存在着差异。例如，讲解极限定义的时候，可以给出它和数学分析中极限概念的类比。事实上，从定义的文字叙述上看，复函数和实函数极限除了个别字母表示不同之外，二者完全一样。然而符号和形式上的一致性并不意味着其内涵也一樣。实函数在自变量为一维的情形下是有左右极限的，部分学生会想当然地认为复函数也有左右极限，这就会导致错误。应该引导学生将复函数与二维的实函数来作比较，学生会更清晰地了解到复函数实际等价于两个二维的实函数这一本质的特点。最好在课堂上画出复函数的图像，图像的直观、可视化，学生会有更深的感知，了解到不能照搬以往的概念来理解复函数，从而克服自身的思维定式。

在讲解一致收敛级数和函数的时候也可做类比的讲解。我们可以引导学生把实数域上级数的性质列出来，这时学生会列出连续性、逐项可微性定理和逐项可积性定理。然后可以让学生分析复数域上的级数是否也有相同的性质。最后，引导学生发现在实数域上的逐项可微的外尔斯特拉斯定理在复数域上有何不同：被求和函数只要在区域内解析且级数内闭一致收敛，复变函数便可求任意次导数；而实函数级数即使一致收敛，且各项可导，也并不能保证可逐项微分。在该过程中学生既能复习已有的知识，又能发现复级数的特性，调动了学生积极性的同时又锻炼了类比的思维技巧。

可以使用比较教学法的知识点是非常多的，教师要善于挖掘并将此运用到教学中来。在教学中，类比的方式也是非常多的，除以上知识的横向类比外，还可以在复变函数知识体系内做类比，例如数与形的类比，一般与特殊的类比等。好的类比可以简化学生的思维负担，学生在类比探究的过程中调动了积极性，学习了知识的同时也锻炼了思维能力。

三、培养学生自主学习的能力，引导学生独力思考、总结

复变函数的学习要加强学生的自我学习和独立思考探究能力的培养，注重启发与讨论。教学中要强调过程，课本的各个知识点固然重要，但是不能只让学生通过机械的记忆来掌握，要注重学习过程。由于课时较紧，可以根据教学进度，给出预习内容和布置一些思考题，这样的处理可以使学生在学习新课之前就发现自己知识中存在的问题，从而在听课的时候有重点有目的，达到更好的听课效果。

学习不是一味地输灌，要加强学生自我学习过程的体验。在传授知识的时候，不妨给学生一定的任务，去完成课本内容的学习，让学生在尝试动手中学习复变函数，加强学习的有效性。但是，考虑到有部分学生的自觉性较差，故不能将课本中的重点的、较难的知识模块交给学生自学。课本知识的部分内容是较为容易且与以前知识有重叠的，可以交给学生自学。例如，有关复数定义及其基本性质的内容与高中的知识有重叠；复平面点集的内容与数学分析中多元函数章节中的平面点集部分非常相似；这两部分内容可交给学生提前去预习，在讲解的时候简单罗列相关概念、性质或者不讲解这些部分都可以。这样处理比去详细讲解要节省时间，且学生不会觉得内容单调重复。

引導学生学会总结各类知识，只有学生通过自己思考纠正才能够获得较深的认识和记忆。经过自己动手，才能加深理解和记忆，从而真正掌握各知识点，不断地提高学生的自主学习能力。

四、结束语

复变函数是数学专业的一门重要课程，是后续更专业性课程的基础，学习了这门课，有利于学生在后续课程中进一步提高自身专业知识与素养。在教学中要善于比较这门课与数学分析专业课知识结构的相同之处，同时也要突出内容的特异之处，既善于比较相同，也要善于发掘不同；另外，在教学中教师需要注重学科历史和应用背景，加强背景知识的渗透；在知识讲解的同时也不要忽略引导学生独力思考、总结知识，不要忽略学生自主学习的能力的培养，要激发学生独立探索的欲望，从而使学生在数学知识和素养上得到提升。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]李庆忠.复变函数[M].北京：科学出版社，2000.

[4]谷群辉，郑洲顺，何勇，等.本科应用数学专业复变函数课程教学方法的改革与实践[J].数学理论与应用，2002，22（4）：23-25.

Abstract：The complex variable function is an important basic course in mathematics course system. In teaching，due to the content of the course is professional，and the knowledge，theorem system is more complex，leading to a not optimistic teaching effect. Combined with own teaching practice and students' learning feedback，this paper gives some suggestions on how to improve the effect of classroom teaching to make students master the knowledge and deepen the understanding and application of knowledge.

Key words：Complex Variable Function；teaching；comparison method