求二次函数最值问题的一些类型题

周儒东

(广东高州中学，广东 茂名 525200)



求二次函数最值问题的一些类型题

周儒东

(广东高州中学，广东 茂名 525200)

本文主要总结了求二次函数最值问题的一些方法，其中包括配方法、函数的单调性、平移对称轴、平移区间、函数的导数等等.

二次函数;最值

二次函数是高中数学必修一的一个非常重要的知识点，其中求二次函数的最值问题更是重中之重，是高一第一学期期中试与期末试中必考内容. 如果我们学生在平时做练习的过程中能够积累一些类型题及类型方法，那么学生不仅能够很好很快地掌握二次函数这个知识点，而且无论是在平时做题还是在考试中更能得心顺手地做题.

下面我们就介绍高中有关二次函数的最值问题的几类型题及其求解方法.

一、配方法

初中所学习的配方法一般用于具体的，其定义域为R的二次函数.

例1 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)的最小值.

解 ∵f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5≥-5,

∴fmin(x)=f(-2)=-5.

二、函数的单调性

函数的单调性是高一学习的用来求二次函数的最值问题的最常用的方法，一般用于具体的，定义在某个区间的二次函数.

例2 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)在区间[-3,1]的最值.

解 ∵y=f(x)的对称轴为x0=-2，开口向上

∴y=f(x)在区间[-3,-2]上单调递减，fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(-3)=-4；

又y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，

∴fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

综上，y=f(x)在区间[-3,1]上的最值为：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

三、平移对称轴

高中我们有时会遇到一种对称轴没定的，即一次项含有未知数的二次函数求最值，这时，我们就要学会先定区间，再平移对称轴来讨论.

例3 已知函数f(x)=x2+2ax-1，x∈[-5,5]，求f(x)的最小值.

分析 因为该函数图象的对称轴是个变量：x0=-a，开口向上，不知道对称轴是否在[-5,5]区间内，所以要分对称轴在区间的左侧、对称轴在区间内，对称轴在区间的右侧三种情况进行讨论，如下图所示：

解 易知：f(x)=x2+2ax-1图象的对称轴为：x0=-a.

(1)当-a≤-5，即a≥5时，y=f(x)在[-5,5]上单调递增,∴fmin(x)=f(-5)=-10a+24.

(2)当-5<-a≤5，即-5≤a<5时，fmin(x)=f(-a)=-a2-1.

(3)当-a>5，即a<-5时，y=f(x)在[-5,5]上单调递减,∴fmin(x)=f(5)=10a+24.

四、平移区间

还有是一种已知二次函数，但要求该函数在某个未定的区间内的最值问题，这时我们就应该先定函数的对称轴，再平移区间来讨论.

例4 已知函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的表达式.

分析 由于该函数的对称轴是个定数x0=1，开口向上，而区间[t,t+1]未知，不知道对称轴是否在该区间内，所以要分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况进行讨论，如下图所示：

解 易知：f(x)=x2-2x+2图象的对称轴为：x0=1.

(1)当t+1≤1，即t≤0时，y=f(x)在[t,t+1]单调递减,∴g(t)=fmin(x)=f(t+1)=t2+1.

(2)当t≤1

g(t)=fmin(x)=f(1)=1.

(3)当t>1时，y=f(x)在[t,t+1]单调递增,

∴g(t)=fmin(x)=f(t)=t2-2t+2.

当然，以上的题都可以用高二导数的知识来求最值，以例2、3为例.

例2 解 ∵f(x)=x2+4x-1,∴f′(x)=2x+4.

令f′(x)=0，有x=-2.

∵f(-3)=-4，f(-2)=-5，f(1)=4,

∴y=f(x)在区间[-3,1]上的最值为：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

例3 解 ∵f(x)=x2+2ax-1,∴f′(x)=2x+2a.

令f′(x)=0，有x=-a.

当-a≤-5，即a≥5时，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,5]单调递增，所以fmin(x)=f(-5)=-10a+24；

当-5<-a≤5，即-5≤a<5时，由于x∈[-5,5]，所以当x∈[-5,a)，f′(x)<0；当x∈[a,5]，f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,a)单调递减，在[a,5]单调递增，所以fmin(x)=f(a)=3a2-1；当-a>5，即a<-5时，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)<0，因此y=f(x)在[-5,5]单调递减，所以fmin(x)=f(5)=10a+24.

此外，我们还可以把求一些二次不等式的问题转化为求二次函数最值问题.

[1]孙明科.金版学案，新课标高中同步辅导与检测必修[M].北京：团结出版社，2015.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

周儒东(1986.10-)，男，广东高州，中一,硕士研究生,从事代数研究..

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