求解复数问题的思维策略

王世铎

(山东省济宁市实验中学，山东 济宁 312400)



求解复数问题的思维策略

王世铎

(山东省济宁市实验中学，山东 济宁 312400)

本文就复数问题求解中常用的思维策略加以阐述，对提高解答复数问题的能力具有参考价值.

复数问题；思维策略；解题

一、化虚为实的思维策略

利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略，主要运用复数相等和模的概念，把复数问题“实数化”.

故所求一个以z为根的实系数一元二次方程可以是x2-6x+10=0.

二、分类讨论的思维策略

分类讨论是指按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况逐一求解的过程，这也是一种常见的解题策略．解题时，应关注复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件.

解 若α、β为实数，则Δ=4-4k≥0且|α-β|2=(α-β)2,解得k=-1.

若α、β为虚数，则Δ=4-4k<0且α,β共轭，|α-β|2=-(α-β)2，解得k=3．

综上，k=-1或k=3．

三、整体处理的思维策略

整体处理是数学解题策略中的又一种重要的思维方法，解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容).若遇到复数就设z=a+bi(a、b∈R)，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，往往能收到事半功倍的效果.

例3 若虚数z满足z3=8，则z3+z2+2z+2的值是____．

分析 若设z=a+bi(b≠0)，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．

解 ∵z3=8,∴(z-2)(z2+2z+4)=0.

∵z是虚数，∴z≠2．

∴z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2．

故z3+z2+2z+2=8-2=6．

实际上例1也可以整体化处理：

四、数形结合的思维策略

由于复数既可用代数形式，也可……