解圆锥曲线中最值问题的常用技巧

洪金华

(浙江省温州市苍南县江南高级中学,浙江 温州 325000)



解圆锥曲线中最值问题的常用技巧

洪金华

(浙江省温州市苍南县江南高级中学,浙江 温州 325000)

圆锥曲线内容是高中几何的重要内容，也是高考重点考查的知识点之一，为使学生更好的解决这类问题，本文列举了几种常见解题技巧.

圆锥曲线；最值；技巧

最值问题向来都是出题者的“宠儿”，各个章节都存在.在圆锥曲线中也会经常遇到面积最大最小问题，距离最长最短问题，不定量的最大最小问题等等.解决这些最值问题应从函数、曲线、定义、不等式、几何、三角等多个角度去思考，选择恰当的途径.下面举例加以说明.

一、利用圆锥曲线的参数方程求最值

例1 已知点P是椭圆x2+8y2=8上到直线l：x-y+4=0的距离最小的点，则点P的坐标是( ).

点评 利用参数方程，将原问题转化为三角问题，再用三角的有界性得出最值，然后返回求出P点坐标.

二、利用重要不等式求最值

注意到等号可以成立，故应选A.

点评 分别求出互为共轭的双曲线离心率，再用不等式a2+b2≥2ab求最值，但不能忽视等号成立的条件.

三、利用圆锥曲线的定义求最值

解析 由双曲线的第一定义，得|PF1|-|PF2|=2a.

出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围.

四、利用圆锥曲线的对称性求最值

解析 如图1，由椭圆对称性知O为AB的中点，设椭圆右焦点为F，则四边形AFBF1为平行四边形.

∴△ABF1的面积最大值为bc.

点评 抓住椭圆是中心对称图形，从而得出四边形AFBF1为平行四边形这个结论.

小结：圆锥曲线是……