一题多解与一题多变在数学中的应用

王静

摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。

关键词：一题多解；一题多变；数学

一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性

数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。

一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。

一题多解案例分析

例题：已知：f（x）=x3+ax2+（a-1）x+1，若在区间[1， 4]单调递减，求a范围？

方法一：解题思路

问题转化为导函数f'（x）≤0在区间[1， 4]恒成立，f'（x）≤0解集为A，只需[1， 4]是集合A的子集

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因为f（x）在区间[1， 4]单调递减 所以f'（x）≤0在区间[1， 4]恒成立

x2+ax+（a-1）≤0

（x+1）[x+（a-1）]≤0

1.当a<2时，f'（x）≤0解集为[-1，1-a]

所以[1， 4]是[-1，1-a]的子集

4≤1-a解得a ≤ –3

2.当a≥2时，f'（x）≤0解集为[1-a，-1]

不满足[1， 4]是[1-a，-1]的子集

所以解集是空集

综上所述：a≤-3

方法二：解题思路

问题转化为导函数f'（x）≤0在区间[1， 4]恒成立，导函数y=f'（x）为开口向上的二次函数，只需f'（4）≤0，f'（1）≤0同时成立即可

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因为f（x）在区间[1， 4]单调递减 所以f'（x）≤0在区间[1， 4]恒成立

由二次函数图像可知，只需

即 解得 所以a ≤ –3

一题多变例题

例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=kx-3 与椭圆相交于C，D 两点，若|AC|=|AD|，求k的值？

解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（x1，y1） D（x2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1

解： 消y得：（9+25k2）x2-150kx=0，Δ>0

设C（x1，y1） D（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2= x1x2=0 y1+y2=k（x1+x2）-6= k2-6=

设M（x0，y0）为CD中点，则

x0=（x1+x2）=，y0=（y1+y2）=

因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1

k=-1 整理得：=-，k2=，k=

在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：

1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形

2.（AC+AD）CD=0

这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。所以同学们以后在做题的时候，一定要善于将不熟悉的问题做转化，做起来才能得心应手。

一题多变指的是面对一道数学题，通过对比，想象，延伸等，能够获得一系列的新的题型，甚至能够总结一定的经验或者公式更甚者是一般结论。一题多变不是变相地给同学们增加学习负担，反而一题多解采用不同的问法去解答不同的问题，在解决的过程中这不仅能够提高学生们数学分析能力，还有学生们的应变能力，发散思维的能力，培养学生们在面对一些新的新题或者一眼看上去很难解决的问题面前，能够展开思维的勇气和能力。很多人觉得所谓数学就是熟能生巧。而熟能生巧，不就是题海战术吗——题见多了，做多了，解题思路自然就开阔了，做题速度也会快得多，其实这就忽视了让孩子充分地独立思考问题能力的培养，独立思考，這对于数学学习来说非常重要。endprint