关于凸集及凸集分离定理的教学设计①

付云姗 刘兰冬

（中国矿业大学（北京）理学院 北京 100083）

关于凸集及凸集分离定理的教学设计①

付云姗 刘兰冬

（中国矿业大学（北京）理学院 北京 100083）

本文考虑凸集及分离定理的教学设计，本文内容为本科生课程《运筹学》教学过程中，凸集及其性质的深入研究，由凸集及其性质的讲授拓展引出凸分析相关内容，本文将教学内容拓展到分离定理的研究。利用启发式和总结式相结合的方法，展开了对分离定理的教学研究，使学生对凸集及分离定理的概念和性质立体的、深刻的理解，从而有效地提高教学质量。

凸集；投影；凸集分离定理；教学设计

凸集是凸分析的基础概念之一，而分离定理是凸分析的基础理论内容，因此是教学中的重点也是难点。本文针对性的对凸集及拓展知识分离定理进行了教学研究。从同学们熟悉的集合例子谈起，给出凸集的定义，引入投影的概念，逐步推导出凸集分离定理的内容。

一、课堂导入

我们首先回顾一下集合的概念，广义地讲，集合是指具有某种性质的事物的总体。今天我们来学习的凸集即是一类具有特殊结构特点的集合。首先，我们来学习一下凸集的概念。

二、凸集及投影的概念

定义1设S是Rn中的一个非空集合，如果对于任意x（1），x（2）∈S及任意实数λ∈［0，1］，有λx（1）＋（1－λ）x（2）∈S，则称S为凸集，否则称它为非凸集，我们称λx（1）＋（1－λ）x（2）为x（1）和x（2）的凸组合。

非空闭凸集SRn中与点x∈Rn距离最近的点称为x在S上的投影（projection），记为PS（x）。下面将为大家讲解一下点到非空闭凸集的投影的存在性、唯一性以及非扩张性等性质。……