三角函数求最值的几种解题策略

林东东

【摘 要】 三角函数的最值问题是高考的热点之一。通过研讨三角最值问题的解题思路，一方面可以对与其相关的知识链起到复习巩固作用，另一方面又可以在用数学思想方法解题过程中培养自己的数学解题能力、数学思维能力。并且这类问题综合性强，灵活性大，它往往与二次函数、三角函数图像、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.这类问题的解决涉及到化归、转换等重要的数学思想，掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

【关键词】 三角函数；最值

一、化为 的形式

例1.求函数 的最大值。

∴函数f（x）的最大值为 ，最小值为

反思总结：利用辅助角公式，容易求得函数的最值。

二、转化为基本初等函数

1.转化为二次函数

例2.求函数 的值域。

解：原式化为

令 ，则 ，由二次函数图象可知，当t=- 时，y = ，当t=1时，y =5

反思总结：将函数表达式化为二次函数时一定要注意不能忽略函数的定义域的变化。

2.转化为双勾函数

例3.求函数y= 在区间（0，π）上的最大值。

解

= ，令t=tan ，则y= ，x∈（0，π）， ∈（0， ），∴tan ∈（0，+∞），即t∈（0，+∞），∴ +t≥2 ，0< ≤ ∴当t= 时，即tan = ，x= 时，函数y= 取得最大值 。

反思总结：将函数化为 （其中f（x）是三角函数），在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，如果等号取不到，则要化成y=t+ ，利用导数通过图象求解。

三、利用几何意义

例4.求函数 的最大值及最小值。

函数 的几何意义为两点p（-2，0），Q（cosx，sinx）连线的斜率k，而 Q点的轨迹为单位圆，- ≤k≤ ，

故y =- ，y = ；

例5 求函数 在区间 上的最大值。

解

设A（1，-1），p（cosx，cos x），K =

即y为过P，A的斜率。……