关于换元法的分析和探究

张力丹+++杨盼盼

摘要：在求解某些数学问题的时，有时需要引入换元法。本文首先对换元法进行了简要的介绍，引入了常值换元法，局部换元法，和积换元法，三角换元法，均值换元法，比值换元法，放缩换元法，积分换元法。根据各换元法的思想，对各换元法进行了分析。分析结果表明，通过换元法可以将某些复杂的数学问题化繁为简，化难为易，从而达到方便解题的目的。

关键词：局部换元法；三角换元法；放缩换元法；换元积分法；均值换元法

1 引言

由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑关系不易从表面形式上被发现，故需要从一种形态转换到另一种形态。因此就出现了换元，并产生了换元法。换元法的基本思想是通过变量代换，可以化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，达到化繁为简，化难为易的目的，从而达到解题方便的目的。目前所知道的常用的换元法有常值换元法，局部换元法，和积换元法，三角换元法，均值换元法，比值换元法，放缩换元法，以及数学积分应用中的第一换元积分法和第二换元积分法[1]。换元法在定积分，不定积分，方程，不等式，函数，数列，三角函数等数学问题中有着广泛的应用。当遇到代数中式子较繁琐，解法比较复杂时，换元法就发挥了其功能，达到化难为易，化深为浅，化繁为简的目的。这是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。

2 常值换元法

常值换元法就是将数学题中的比较大或比较复杂的数字用简洁的字母代替来解题，是最简单的一种换元方法。……