敏锐发现 及时捕捉 高效利用

胡寿芹

摘 要：学生认知错误是数学教学中常有的现象，教师应该转变心态，充分运用错误资源，变废为宝，真正促进学生核心素养的有效发展。本文提出要暴露问题，在发现错误中研制教学内容；对比生成，在捕捉错误中明确教学方向；变废为宝，在利用错误中提升思维能力，从而促进学生核心素养的高效发展。

关键词：错误资源；变废为宝；课堂教学；利用错误

课堂教学是以教学内容为载体、紧扣教学目标进行的师生对话，每个学生都是这个网络状态下的支点。在系统构建和信息发布的过程中，学生难免会发生一些错误。如果运用得当，这些错误就可以为课堂教学提供有效的资源。因此，这就要求教师要善于从学生的动态生成中发现、捕捉和运用学生的错误信息，引领学生经历从错误到正确、从混沌到清晰的过程，从而促进数学教学向纵深推进。

一、暴露问题，在发现错误中研制教学内容

1. 罗列问题，让认知偏差真实再现

学生进入课堂之前，已经不再是一张白纸，他们原始性的经验储备和认知状态，是展开课堂教学的基础。在这些基础性认知资源中，同样会蕴藏一些错误。教师可以引领学生在参与实践活动的过程中，讓其错误的认知得到展示，从而在认知错误的过程中进行纠偏。

如在教学“小数乘法”这一内容时，教师要求学生计算1.7×4，让学生展示基础性认知资源。学生呈现出四种典型的计算方法：①将乘法转化为加法：1.7+1.7+1.7+1.7=6.8；②将小数转化为整数：1.7×10=17，17×4=68，68÷10=6.8；③受笔算加法的影响，不少学生出现了自己理解状态下的小数乘法法则，列竖式时将因数的整数部分对齐；④对小数乘法的运算方法已经理解并在实践过程中进行了灵活运用。

第③种方法中，学生以惯性思维认为小数乘法也需要将小数点对齐，正是这一展示过程，暴露出基础性资源中的错误信息。教师就应该针对这一问题组织学生进行研讨和分析，更好地引领学生参与到教学活动中，将这一难能可贵的认知错误作为着力引导、点拨的重要内容。

2. 创设平台，让模糊思维展露无遗

在一个班集体中，学生之间的差异性是客观存在的，无论是原始经验还是认知能力都有着一定的层次之分。而对于数学教学而言，这些客观存在的差异也是教师进行教学的重要资源。

如在教学“运用乘法定律进行简便运算”时，教师列出两题：计算（4×7）×25和（4+7）×25。学生兴趣高涨，纷纷表达自己的想法，一位学生表示：第一题可以运用乘法交换律，先计算4×25=100，再与7相乘，得到700；第二题可以先计算4×25=100，然后再加上7，得到107。教师相机评价：说得好，但第二题有一个地方没有处理好。随后，教师引领学生思考：为什么做错了，老师还是肯定了他？很多学生意识到因为这位同学善于观察，将4×25先计算，从而得到整百数。

教师让学生在分享交流的过程中凸显了其认知思维过程的混沌，暴露了学生的错误，真正促进了学生核心目标的发展。

二、对比生成，在捕捉错误中明确教学方向

1. 在联系对比中捕捉信息

教师要善于鼓励学生进行发散行为，为有认知错误的学生发言搭建基础，在学生逐渐趋向认同时，教师就可以将学生的关注力引向思维认知的另外一方，从而引领学生在拓展中发现全新的认知信息，提升学生的认知能力。

如“计算乘法”有这样一道题：一本书需要21元，购买14本需要多少钱？不少学生都提出可以先计算10本书的价格，即21×10=210元，再计算4本书的价格，即21×4=84元，然后两者相加就可以得出14本书总共的价格。教师相机指明这其实就是乘法笔算的思维过程，借以唤醒学生内在的认知欲望。随后，顺势罗列出几种笔算方法引领学生进行探究，更好地促进学生思维能力的发展（如图1）。

学生在对比中发现，第①种算法容易理解，同时也有学生补充可以将加号省略在头脑中；而②中将21拆分为20与1，先计算1个14，再计算20个14，最后相加得到结果，方法不同，但最终的结果却是正确的；而第③种则将具体计算过程记在头脑中，教师尊重了学生的认知。但随着教师所列举的数值越来越大，学生在计算中则逐步认识到第②种、第③种相对复杂，故而舍去。

在之后的教学实践中，学生的计算方法不断更新与调整，逐步向最佳方法迈进。学生内在思维的发散过程，正是学生获取知识的过程。通过在实践中的对比，充分关注学生内在的个性化特点和学生的个性化创意，将学生思维发散的过程作为了课堂教学的资源。

2. 在认知冲突中捕捉信息

在正式展开教学之前，教师可以通过学习前置单等形式对学生这一认知进行分析，了解学生的学习障碍，并在分析的过程中明确教学的重难点，从而引领学生克服障碍。

如在计算“3.5×17”时，学生的列式计算分别如下（如图2）。

在交流的过程中，学生通过判断，明晰错误的原因：第①种方法是错误的，因为计算过程中小数点的数位没有对齐，即便是估算的话，也绝对比28大很多；第②种方法虽然计算的结果是正确的，但在小数点的确定上思想不够统一，还有学生指出这样计算确定小数点的方法完全是照搬了小数相加减的方法，运用这种方法计算其他题目时容易出现错误。小数与小数的乘法就应该将其视为整数相乘，计算得出结果之后，再根据因数变化规律来确定小数点的位置。

这种方法让很多学生眼前一亮，多么精彩而独到的见解。学生都在不同想法的认知冲突中，生成了最重要的数学教学资源，更呈现了对学生之前的错误认知彻底重新调整的过程，从而促进学生素养的高效发展。

三、变废为宝，在利用错误中提升思维能力

1. 从机械推进到重心下移

为了给予学生开放性的真实课堂、清晰学生的内在思维，我们应该在教学过程中进行适当的“重心下移”：第一，一切教学行为必须要以学生内在的认知需求作为教学的出发点和重心点；第二，教师要尽可能将教学所涉及的问题“放下去”，给予学生独立面对问题的契机，并运用自身的认知能力解决问题。

以教学“万以内的退位减法”为例，教师先组织学生进行预习，并对退位减法的方法进行讨论与交流，组织学生进行题目的自主创编，再相机进行计算、评析和最终的质疑。其中一个学习小组提出：2031-1641，被减数在十位上的数字3不能被4减，就需要从百位上退位，但此时百位上的数字为0，又需要从千位上退位，答案是390，这个算法正确吗？这一问题在第一课时出现颇为意外。很多教师在遭遇这一问题时，可能会采用回避的方法，告知学生以后我们会专门学习这个问题，暂时可以将这一问题放一放。但学生已经产生了这样的困惑，形成了相应的学习需求，教师就应该将教学的关注点适当向学生的认知转移，及时调整原先的教学思路。在重心下移的过程中，教师组织学生进行系统的研讨，顺势解决了学生的困惑，为后续深入学习奠定了基础，并埋下了伏笔。

在这一问题的解决过程中，虽然耗费了学生一定的时间和精力，但契合了学生的认知需求，还是非常值得的。

2. 从教师点拨到多元互动

如果课堂中的错误信息完全源自于学生，讨论也由学生的错误而起，那课堂就会真正演变成为学生自主参与的重要场所。如此学习，就会形成学生与学生之间的思维交锋。

如在教学“不连续进位加”时，教师就创设了进入超市进行购物的生活情境，出示商品价格，要求学生从自己的喜好出发，选择两件商品并计算价格，一位顾客选择了一件上衣和洗衣机，价格分别为807元和934元，教师让学生把笔算过程展示出来（如图3），引导学生进行质疑提问。

生1：怎么会在个位上写上11？该生：因为7+4=11。生2：11已经是两位数，应该向十位进一位才对。生3：个位上进来的1，可以先标在“0”上面。教师追问：为什么要这样做？生4：我觉得进上来的1，可以标注在横线上，不容易与退位相混淆。

面对学生的错误，教师并没有“越俎代庖”，而是引领学生在彼此研讨、质疑的过程中展现自己的学习思维，让学生在各自表达的过程中进行深入分析与对比，从而理清错误的本质，并顺势发现学生思维中的亮点，促进学生思维能力的发展。

学生认知错误是数学教学中常有的现象，教师应该转变心态，充分运用错误资源，真正变废为宝，真正促进学生核心素养的有效发展。