浅谈线性代数中的哲学思想

李晓红

摘要：为提高线性代数的教学效果，本文就线性代数教学内容中所蕴含的哲学思想进行了探讨。从形变质不变、量变引质变、对立统一、否定之否定等四个主要方面进行了阐述，使得矩阵的初等变换、向量的相关性、线性方程组求解等问题变得更易于理解和掌握，以期能充分调动学生学习的积极性和主动性，提高学生的辩证思维能力和应用能力。

关键词：线性代数；教学方法；哲学思想

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）39-0219-02

线性代数作为工科数学的一门主要基础课，不仅是后续课程和专业学习的需要，更是培养学生数学素质，提高创新能力的需要。为了提高教学效果，不仅要注重知识层面上的学识教育，更要注重文化层面上的素质教育，要善于把数学课程放在更广阔的文化背景中进行教学，这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。下面结合自己的教学实践，尝试从哲学的角度来探讨一下线性代数的教学，以期对大家有所帮助。

一、从“形变质不变”看事物之变化

在线性代数中，所研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性未改变，所谓“万变不离其宗”，在此不妨称之为“形变质不变”。例如，行列式的恒等变换；方程组的同解变换；矩阵的初等变换；向量组的等价变换；二次型的标准变换等。这么多的变换，很容易引起学生混淆，特别是对变化的目的与方向一筹莫展，从而失去学习的兴趣和信心，因此在教学中需要注意以下几个方面。

1.要充分揭示变与不变的真正内涵。引导学生认识事物，不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。例如，行列式进行恒等变形，其值不变；矩阵进行初等变换，其秩不变；向量组进行初等变换，其秩以及线性表示关系不变；二次型进行各种标准变换，但其正定性、负定性等保持不变。以上种种“变与不变”，相辅相成，是“形变质不变”，是形式和内容的和谐统一。

2.要积极引导学生为解决问题，在形式上寻求最佳改变方案。教学中经常用到化归的思想[1]，要化繁为简，化难为易，化未知为已知。由于形式是为内容服务的，所以以“不变”为根基，为纽带；以“变”为契机，为突破；才能寻找到解决问题的最佳途径。例如为求行列式的值，常将行列式化成三角形行列式；为求矩阵的秩，常把矩阵化成行阶梯形；为求线性方程组的解和向量组的线性表示关系，常将对应矩阵化成行最简形；为判断二次型的正定性，常将二次型化成标准型等。

3.要反复强调矩阵初等变换的核心地位。在“形变质不变”中，矩阵的初等变换堪称经典。因为矩阵的形变不仅能解决自身问题，如求矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵方程的解以及矩阵的特征值与特征向量等，而且还能解决线性代数中的其他问题。例如求向量组的秩及线性表示、线性方程组的通解、二次型的标准型等。可以说矩阵的初等变换如同一条多变的链条，充满了多样性和奇异性，将线性代数的整个内容都贯穿了起来，是解决线性代数问题的关键方法。

二、从“量变引质变”看事物之差异

辩证唯物主义认为，事物具有质和量两个方面，是质和量的统一体。而数学研究就是从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，特别是质的差异和从量变到质变的飞跃过程[3]。在线性代数中，许多研究对象都有与其密切相关的量，当这些量发生改变时，就能引起相应的质的改变，特别是当其改变到某种程度，即当量变达到某一值时，就会引起质的本质改变，会产生质的飞跃，可称之为“量变引质变”。

例如，n阶矩阵A有对应的量R（A）和A，当R（A）

以上种种，都说明量变引起了质变。因此，在教学中，不仅要引导学生去发现能反映事物质的量，而且还要帮助学生理解这个量为何影响质，并且对这个量变引起質变的临界值，要重点掌握。在实际应用时，常常会遇到量变取决于某些未知参数，因此就需要根据临界值，先对未知参数进行讨论，然后再具体判别事物的质，使得问题得以顺利展开和讨论。

三、从“对立统一”看事物之联系

由于线性代数中的概念、性质以及定理较多，许多内容相似且有关联，所以学生特别容易混淆。而且学习时靠死记硬背，应用时张冠李戴，总犯一些不该犯的错误。为了使学生熟练掌握这些内容，明晰其区别与联系，我们不妨把事物一分为二，从“对立统一”的角度看问题、分析问题，那么线性代数的教学内容就变得有章可循，有法可依，就能由此及彼，由浅入深，逐步展开成线性代数枝繁叶茂的知识体系。例如，从以下几个方面。

1.特殊与一般。按照由特殊到一般再由一般到特殊的认识规律，线性代数中的很多概念、定理和公式都是从客观现实中，经过数学的抽象、推理、归纳等产生的[2]。例如，二、三阶行列式与n阶行列式；数的运算与矩阵的运算；线性空间的一般基与标准基；齐次线性方程组与非齐次线性方程组；特解与通解；一般二次型与标准二次型等。特别是为了解决问题，要把与之相关的矩阵由一般形式变化成各种特殊形式，如等价标准形，行阶梯形，行最简形，对角形等。

2.相关与无关。向量组的线性相关性是线性代数的重要理论，任意一个向量组，要么线性相关，要么线性无关，二者必居其一，都是线性表示的具体体现。相关向量组中至少有一个向量能被其余向量线性表示，无关向量中任一向量都不能被其余向量线性表示。相关向量组去掉多余的向量，则线性无关；无关向量组添加能被它线性表示的向量，则线性相关。可见，相关变无关是量的精简，无关变相关是量的扩容，二者达到和谐完美的统一。

3.有限与无限。有限与无限的辩证统一，主要体现在有限能生成无限，无限又包含有限，它们有质的差异，但在一定条件下也可以互相转换[3]。线性代数中由基础解系生成通解的方法，就是由有限生成无限的一种特殊方法，不仅实现了由量变到质变的飞跃，而且实现了定性描述向定量描述的重大转化，更利于分析问题和解决问题，对于提高学生的创新思维能力也有重要意义。

四、从“否定之否定”看事物之发展

否定之否定规律是自然界、人类社会和思维发展的普遍规律，事物通过否定之否定扬弃原来的概念，获得更为丰富的内容，从而获得新的发展起点[3]。在线性代数中，有一些重要定义看似简单，但要依据这个定义来真正计算时，才发现比较困难，计算量往往非常大。这就需要我们在否定这种计算方法的基础上，重新由定义出发，去推断出尽可能多的结论，再从这些结论中寻求合适的方法。

另外，在求矩阵的秩和求向量组的最大无关组时，如果直接按照定义来做，只能利用筛选法，计算量不仅大而且非常烦琐。因此在否定的基础上，根据“初等变换不改变矩阵的秩”、“行（列）初等变换不改变矩阵列（行）向量组的线性相关性”这两个重要定理，利用矩阵的初等变换，使得这两个问题迎刃而解，方法既简洁又简单，充分体现了数学转化思想的重要性，以及数学的奇异美、形式美。所以说，否定之否定，就是完善与发展、就是进步与提高。同时也要引导学生，在学习与生活中，应该直面自身的缺点与不足，只有不断进行自我否定，才能努力改进，早日到达成功的彼岸。

总之，线性代数中的哲学思想，像一盏明灯，使我们能理清纷乱的思绪，看清知识的脉络和内涵。并且能够体验到线性代数的抽象美、逻辑美、奇异美、形式美，使学生更有信心和兴趣去学好这门课。这不仅为他们的后续课程和专业学习打好了基础，而且培养了数学素质，提高了辩证思维能力和应用能力。

参考文献：

[1]李曦.数学思想方法融入线性代数教学中的探索[J].南昌航空大学学报：自让科学版，2014，28（3）.

[2]余惠霖.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想[J].广西社会科学，2011，（8）.

[3]王仲英，郝祥晖.数学中的有限与无限[J].高等数学研究，2007，10（1）.