微分方程在时域分析教学中的应用探讨

郑丽丹

将学生熟悉的微分方程求解，应用于自动控制理论的时域分析法的教学中，以二阶系统为例，详细讲述了推导过程，得出了阻尼比在不同取值范围内时输出响应的时域表达式的具体情况。在学生学过的旧知识和即将要学的新知识之间架起了桥梁，使学生体会到学以致用的快乐，取得了良好的教学效果。

微分方程时域分析二阶系统本文提出利用高数中二阶微分方程的求解来得出二阶系统中阻尼系数ζ在不同取值区间内的响应情况，总结规律，联系物理学的实际，便于学生记忆和掌握。

一、推导过程

显然，上述方程为高数中的二阶常系数非齐次线性微分方程，根据数学理论，容易得知，c（t）的解由通解和特解两部分组成，本式中特解为常数1，通解根据微分方程对应的特征方程的特征根的不同情况，有如表1中三种形式。

已知ωn≥0，故，只需依次分析ζ在不同取值范圍内对应的输出响应的通解形式，就可以得出相应的规律。

1.ζ<0

（1）ζ<-1时，对应的特征根形式为上述表格第一种情况，且S1>0，S2>0，得到输出响应在t≥0时，单调发散。

（2）ζ=-1时，对应的特征根形式为上述表格第二种情况，且S1=S2>0，得到输出响应在t≥0时单调发散

（3）-1<ζ<0时，对应的特征根形式为上述表格第三种情况，且α>0，得到输出的表达式：

由于C3>0且α>0，在t≥0时，可得输出为一发散形式正弦振荡曲线，不能收敛。

综上所述，在ζ<0时，系统发散，在控制系统中，不满足自动控制系统最重要的性能指标即稳定性，因而没有研究的必要。

2.ζ=0

ζ=0时，对应的特征根形式为上述表格第三种情况，且α=0，得到输出的表达式：

输出表达式为正弦函数，等幅震荡，既不收敛，也不发散，是收敛与发散的临界状态。

3.ζ>0

（1）0<ζ<1时，对应的特征根形式为上述表格

第三种情况，且α<0，得到输出的表达式为式（6）

由于α<0，eαt收敛，可得输出为震荡收敛过程，即为欠阻尼过程。

（2）ζ=1时，对应的特征根形式为上述表格第二种情况。由于S1=……