都是定义惹的祸
——一道易错题的错因分析和教学建议

●孙 鋆 (宁波市第二中学,浙江 宁波 315010)

都是定义惹的祸
——一道易错题的错因分析和教学建议

●孙 鋆
(宁波市第二中学,浙江 宁波 315010)

文章从一道函数题常见的错误出发，寻找错误背后的主因，通过对复合函数定义的合理选取，消除学生在理解上的障碍点，并通过对复合函数定义的纵向梳理，进一步提出切实可行的教学建议.

函数值域;错因分析;复合函数定义

1 问题缘起

三年轮回，笔者转眼又任教于高一数学，而每当讲授到“对数函数”之后，学生在函数问题上的错误频发，其中有这样一个经典问题，常常讲评，但错误率还是极高，现呈现如下.

例1 若函数f(x)=ln(x2+mx+1)的值域为R，求实数m的取值范围.

错误解法 设u=x2+mx+1，由题意知其相应的判别式为Δ=m2-4<0，即m∈(-2,2).

众所周知,这样的结果是错误的.如取m=0，则函数f(x)=ln(x2+1)的值域是[0,+∞),显然与条件矛盾，而这样的解法普遍存在于学生中.为了纠正学生的错误,笔者给出正确的想法:易知y=lgu在u∈(0,+∞)上单调递增且值域为R,欲使原函数值域为R，可设u=x2+mx+1值域为U，则必有(0,+∞)⊆U，因此相应的判别式Δ=m2-4≥0，即m∈(-∞,-2]∪[2,+∞).而令笔者惊奇的是讲评成效甚微，基础中等和偏下的学生还是做错.

2 错因分析

笔者向学生了解他们的解题想法，大多数学生考虑到对数的真数必须大于0，又必须满足集合为R，因此想到Δ<0.不难发现学生将例1和“若函数f(x)=lg(x2+mx+1)的定义域为R，求实数m的取值范围”混为一谈.是学生真的教不会还是学生真的太“笨”而导致屡教不改吗？答案是否定的，其实问题出在教师的教学之中.

2.1 定义“惹祸”

复合函数作为初等数学重要的函数构成方式，尽管现行的高中教材并未给出其定义，但一般教师都会作为补充内容向学生讲授，而上述例1错误解法的原因正好来自于复合函数的定义……