空间任意方向圆柱面拟合方法

褚建春 张泽峰

(苏州市测绘院有限责任公司，江苏 苏州 215000)

空间任意方向圆柱面拟合方法

褚建春 张泽峰

(苏州市测绘院有限责任公司，江苏 苏州 215000)

提出了一种新的简便可行的圆柱面拟合算法,利用两台无棱镜全站仪架设在圆柱面的不同方向，分别获取圆柱面上均匀分布的若干坐标点，再利用三维坐标转换原理将这些坐标点转换到统一坐标系统内。根据圆柱面的几何原理，通过对圆柱面的位置和方向等几何参数赋予任意值，利用最小二乘原理求出参数值来确定圆柱面，并评定圆柱面的圆度值。同时，将本方法的计算结果与其他方法进行对比分析，发现计算结果差异不大，精度大致相同，这也就验证了本方法的可行性和正确性。

圆柱面拟合，三维坐标转换，圆度，最小二乘原理

0 引言

在工业检测和逆向工程中，曲面拟合是一个经常涉及到的实际问题。实物的形状通常用数学公式描述，通过对其表面点进行三维坐标采样，再根据数学模型拟合出实物表面在空间坐标系中的几何方程[1,2]。在曲面拟合中，圆柱面的拟合比较常见，该过程要确定圆柱面的几何参数，主要方法有高斯图、遗传算法、特征值法以及几何法。

本文提出一种快速简便的圆柱面拟合方法，并与文献[6]中的方法进行比较分析，验证该方法的可行性。该方法来拟合圆柱面时，在对误差方程进行适当的变换后，可任意选取平差过程中参数的初始值。

1 坐标测量与转换

1.1 坐标测量

利用全站仪无棱镜模式采集圆柱面上点的三维坐标。由于圆柱面为三维立体表面，利用一台全站仪不能够从一个测站测出整个圆柱面，所以至少需要两台全站仪对其圆柱面进行观测。然而，利用多台全站仪测得的坐标点的数据不属于同一套坐标系，为了使两个测站上点的坐标统一，需要至少布设3个公共点在圆柱面的周围。将全站仪分别架设在两个不同的测站上观测这些公共点，求得两套坐标系之间的转换参数，以便将两套坐标系上的坐标点归算到同一套坐标系中。为了提高坐标之间的转换精度，布设的公共点之间的距离相对于圆柱面应尽量远。

为了拟合苏州市文庙大成殿某根圆柱形支柱，首先在支柱前后两边分别选择一个点作为测站点，且在支柱周围均匀地设定4个点，放置小棱镜，作为坐标转换的公共点。测得4个公共点坐标见表1。

表1 不同测站测得公共点坐标 m

1.2 三维坐标转换

由于任意架设测站测得的公共点属于不同的坐标系，为了便于圆柱面的拟合，需要进行三维坐标转换，本文是将测站2的坐标归算到测站1的坐标系中。由于这两套坐标系又是全站仪任意确定的，因此该坐标转换属于大旋转角的三维坐标转换。文献[3]中提出一种适合于大旋转角的三维基准转换的简便模型，但是该方法相对于文献[4]的方法列式和计算要复杂些，所以本文采用文献[4]的方法，同样可以进行大旋转角的三维坐标转换。

一般三维坐标转换需要求解7个转换参数，而在这里采用同一台全站仪来获取公共点的坐标，所以不必考虑尺度参数，只需要求出三个平移参数(x0,y0,h0)和三个角度参数(α,β,γ)就可以了。

公共点之间的坐标关系可以表示为：

(1)

其中，(x0,y0,h0)为平移量；α,β,γ均为旋转角；R1(α)，R2(β)，R3(γ)均为旋转矩阵，其中：

当公共点个数大于3个时，可以按最小二乘求解以上6个参数。对每个公共点，列出误差方程为：

(2)

对式(2)进行线性化，得:

(3)

其中，偏导数和常数项见文献[4]。

利用式(3)，经过平差处理后求解6个转换参数，分别为x0=-199.800 1 m，y0=608.517 8 m，z0=97.907 1 m，α=-001′6.117 8″，β=003′5.667 4″，γ=-100016′38.840 7″。

将求得的6个转换参数代入式(1)中，可将不同坐标系的点坐标归算到相同坐标系，得到的圆柱面的坐标点的数据作为本文拟合圆柱面的实验数据。

2 圆柱面拟合

根据圆柱面的几何特征可知，圆柱面可以看做为到一条定向的中心轴线距离等于某一常数的点的集合，要想唯一确定一个圆柱，需要7个参数，分别是该圆柱中心轴线的方向向量(a,b,c)和直线上的某一点坐标(x0,y0,z0)，以及圆柱的半径r。由此，可得该圆柱的中心轴线的参数式方程为：

(4)

其中，t为参数变量。

根据由二维平面圆扩展得到三维空间圆柱面的定义[1]，空间圆柱面的方程可以表示为:

(5)

其中，(x,y,z)为空间圆柱面上的点;(a,b,c)为单位向量。

将式(5)进行展开并进一步整理，得式(6):

(6)

则，误差方程可列为：

V=r-R

(7)

由于误差方程式(7)为非线性，需要对上式进行线性化。在线性化的过程中，由于上式各参数之间的相关性比较大，舍去了高次项对参数的计算结果影响比较大，而且需要对参数的初始值要求比较高，否则，可能导致迭代不收敛或者收敛到错误的结果。

为了在保证最优参数解的前提下，可任意选取平差过程中参数的初始值，因此对误差方程进行相应的变换，并顾及条件a2+b2+c2=1。令误差方程为:

v=r2-R2=T-R2=[a(zi-z0)-c(xi-x0)]2+[b(xi-x0)-a(yi-y0)]2+[c(yi-y0)-b(zi-z0)]2-R2

(8)

对式(8)进行线性化，得:

∂vi=BX-L

(9)

X=(δx0,δy0,δz0,δa,δb,δc,δR)T;

其中，∂./∂.是对7个参数求偏导数；r0,R0均为代入参数近似值后的圆柱半径。

由于x0,y0,z0这3个参数相关，a,b,c这3个参数也是相关的。为了保证参数结果的唯一性，需要对参数进行约束。又由于圆柱的中心轴线的确定需要指明方向和大小，为此规定中心轴线的方向向量是一个单位向量并指向正方向。即满足条件a2+b2+c2=1，并规定a>0，若a=0，则b>0；若a=0且b=0，则c>0(a,b,c不能同时为0)。

顾及两个约束条件和式(9)的误差方程，按附有约束条件的间接平差求解各参数的估值。然而，在每次迭代求解过程中，均需对a,b,c作单位化修正，以便收敛得到最佳的近似参数估值。

3 算例分析

本文是以无棱镜全站仪测得苏州市文庙大成殿某根圆柱形支柱的实际坐标数据为例，将测站2测的点位坐标利用式(1)全部转换到测站1所在的坐标系中，然后按照本文提出的方法进行平差，求得确定圆柱面的7个参数。为了验证这种方法的正确性，笔者采用文献[1]和文献[6]中圆柱拟合算法和数据进行验算，将算得结果进行比较分析，如表2所示。

由表2可知，三种方法求得的圆柱中心轴线方向和半径的结果十分接近。本方法与文献[6]方法中初始值选取方法相同，都选取所有观测点的x0坐标的平均值作为参数近似值，并将其设定为常数x0。本方法和文献[1]方法的坐标平移量不同是由于选取的坐标初始值不同，为了进一步比较本方法和文献[1]方法，可以将两方法的初始值都设为x0=10.000 00，然后继续按照上式进行平差计算，则起始点平移后的坐标为(10.000 00,20.384 86,4.035 87)，与文献[1]中的计算结果相差很小，这就验证了本方法的正确性。

表2 三种方法结果比较

从表2的结果可以看出本方法的正确性和可行性。所以，可以利用本方法来拟合测得的实际圆柱面坐标点的数据，求得圆柱的7个参数。同时，也利用文献[6]中的方法拟合求得圆柱参数，并与本方法计算的结果进行比较分析，计算结果见表3。

表3 两种不同方法的圆柱参数平差结果

由表3的圆柱的参数平差结果，可知这两种方法都能用于圆柱面的拟合，而且求得的参数结果和精度结果相差不是很大，这也同时验证了该方法的可行性。为了进一步说明该方法的有效性，利用本方法和文献[6]方法求得圆柱面上点至圆柱中心轴线的距离与圆柱半径之差[4]，即为圆柱的圆度，其计算结果见图1。

由图1可知，两种方法计算的圆柱面的圆度值差异不大，验证了该方法确实可以用于圆柱拟合的参数求解，且精度也符合要求。

4 结语

本文介绍了圆柱面拟合的一个快速简便的方法，该方法是利用圆柱的几何特征，列出空间圆柱面的方程，并顾及确定圆柱面参数之间的相关性，规定约束条件，再对误差方程进行适当的变换，降低对参数近似值的要求，最终求出圆柱几何参数的最佳近似估值。

通过本方法实例计算结果与文献[1]和文献[6]的方法比较分析，验证了该方法的可行性。该方法与圆柱拟合的其他方法相比，形式简单、易于理解、精度较高，是一种可以运用的圆柱面拟合方法。

[1] 潘国荣，谷 川.改进的遗传算法用于工业测量数据处理[J].大地测量与地球动力学，2008,28(1)：55.

[2] 王丽华，谷 川，万 军.基于改进遗传算法的雷达天线曲面拟合参数辨识[J].机电一体化，2008,14(4)：54.

[3] 陈 义，沈云中，刘大杰.适用于大旋转角的三维基准转换的一种简便模型[J].武汉大学学报(信息科学版)，2004,29(12)：1101-1104.

[4] 王解先，季凯敏.工业测量拟合[M].北京：测绘出版社，2008:31-33.

[5] 秦世伟，潘国荣，谷 川，等.基于遗传算法的三维空间柱面拟合[J].同济大学学报(自然科学版)，2010,38(4)：604.

[6] 张益泽，王解先.初值任意选取的圆柱面拟合方法[J].工程勘察,2012(1):77-80.

Cylindersurfacefittinginarbitrarydirectionofspace

ChuJianchunZhangZefeng

(SuzhouSurveyingandMappingInstituteCo.,Ltd,Suzhou215000,China)

This paper presents a new simple and feasible cylinder surface fitting algorithm. The coordinates of the points on the cylinder surface are measured by the reflectorless total station and transformed into the same coordinate system. The geometric cylinder parameters can be determined by least squares method with arbitrary initial values and the circularity of each point is assessed at the same time. Compared with other methods, the results are similar and the accuracy is equal, which verifies the feasibility and correctness of the method.

cylinder surface fitting, 3D coordinates transformation, circularity, least squares method

1009-6825(2017)23-0190-03

2017-06-07

褚建春(1963- )，男，高级工程师; 张泽峰(1991- )，男，助理工程师

TU198

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