基于截断修正平滑l0范数的MIMO雷达目标参数估计*

陈金立**，李 伟b，唐彬彬b，李家强

(南京信息工程大学 a.气象灾害预报预警与评估协同创新中心;b.电子与信息工程学院;c.江苏省气象探测与信息处理重点实验室，南京210044)

基于截断修正平滑l0范数的MIMO雷达目标参数估计*

在多输入多输出(MIMO)雷达中，针对平滑l0范数(SL0)因感知矩阵的病态性而导致其失效的问题，提出了一种基于截断修正SL0的MIMO雷达目标参数估计方法。该方法在对MIMO雷达感知矩阵进行截断奇异值分解(TSVD)处理的基础上，将保留的奇异值以均值为截断门限，分成较大和较小的两部分，分别采用不同的修正准则进行修正；然后经奇异值分解(SVD)反变换获得非病态感知矩阵，利用该非病态感知矩阵通过SL0算法对MIMO雷达目标参数进行估计，从而显著提高了MIMO雷达目标参数估计的精度和速度。仿真结果验证了该方法的有效性。

MIMO雷达；目标参数估计；平滑l0范数算法；病态矩阵；截断修正奇异值分解

1 引 言

多输入多输出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)雷达是一种新体制雷达系统[1-3]。与相控阵雷达相比，MIMO雷达采用波形分集技术，提高了目标分辨率，增强了系统参数识别能力，在参数估计、噪声抑制和目标探测方面具有很大优势[4]。压缩感知(Compressed Sensing,CS)[5]是一种新兴的信号采样和重建理论，不同于传统的奈奎斯特(Nyquist)采样定理，它通过随机采样的少量观测值就能实现稀疏信号重构，是目前信号处理领域的研究热点。在实际雷达探测区域，目标呈稀疏分布，其回波信号呈稀疏性，故可以将CS理论应用于雷达目标探测[6]。稀疏重构问题等价于l0范数最小化问题，此问题是NP-难问题[5]，其求解难度随着维度增加而增大，因此利用l0范数最小化难以对高维度稀疏重构问题进行求解。文献[7]提出一种利用正则化迭代重加权最小化方法(Regularized Iterative reweighted Minimization Approach，RIRMA)实现MIMO雷达目标参数估计。该方法通过一系列迭代加权lq(0

为保证稀疏重构算法对MIMO雷达目标参数估计的精度，目标场景一般被划分成精细的栅格，则MIMO雷达的感知矩阵不可避免地存在近似线性相关的列，从而导致该矩阵呈病态[10]。将SL0算法应用于MIMO雷达能明显提高其目标参数的估计速度，但是SL0算法中初值和梯度投影步骤都需要对病态感知矩阵求伪逆，则当MIMO雷达的接收信号中存在微小的噪声扰动时，就会引起初值和梯度投影计算误差较大，进而导致SL0算法失效。文献[11]提出了一种截断SL0(Truncated Smoothedl0norm,TMSL0)算法，将截断奇异值分解(Truncated Singular Value Decomposition，TSVD)技术引入SL0算法，先对感知矩阵进行奇异值分解，通过剔除感知矩阵较小的奇异值，改善感知矩阵的病态性，从而提高了SL0算法的稳健性。但是该方法仅仅剔除感知矩阵中较小的奇异值而未对较大奇异值进行修正，导致感知矩阵病态性的改善效果有限。针对此问题，本文提出一种截断修正SL0(Truncated Modified Smoothedl0norm,TMSL0)算法。该方法对MIMO雷达病态感知矩阵的奇异值进行二次截断和一次修正处理来获得非病态感知矩阵，然后再利用SL0算法进行MIMO雷达目标参数估计时，将原病态感知矩阵的伪逆由非病态感知矩阵的伪逆来代替，从而提高算法的稳健性。仿真结果表明，本文方法在MIMO雷达目标参数的估计精度和速度方面均优于迭代加权lq方法；虽然本文方法具有与TSL0算法相近的运算时间，但是其参数估计精度要高于TSL0算法。

2 MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达的发射阵列和接收阵列分别由Mt个发射阵元和Mr个接收阵元组成，其中，发射阵元和接收阵元间隔分别为dt和dr。发射阵列的发射信号矩阵表示为

S=[s1,s2,…,sMt]。

(1)

式中:sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T表示第m个发射阵元的发射信号,N为发射信号长度。

将雷达目标探测场景划分为Z(Z=P·K·H)个离散的距离-角度-多普勒单元，其中，P是距离单元个数,K是角度单元个数，H是多普勒单元个数。假设目标回波间最大延时单元(系统第一个距离单元的发射信号与最后一个距离单元反射信号的时延)为P-1，θk(1≤k≤K)表示第k个角度单元对应的目标角度，ωh(1≤h≤H)为第h个多普勒单元对应的目标多普勒频率，由文献[12]可知，MIMO雷达的接收信号矩阵为

(2)

将式(2)表示的MIMO雷达接收信号以向量形式表示[12]，即

y=Aα+e。

(3)

在实际雷达探测场景中，为保证稀疏重构算法的精确性，其角度单元间隔通常远小于角分辨率，则感知矩阵A中不可避免地会存在线性相关的列。同样，当距离和多普勒单元精细划分时也会导致感知矩阵A中存在近似线性相关的列，且A的条件数非常大，从而呈严重的病态性[10]。

3 利用截断修正SL0算法实现MIMO雷达目标参数估计

求解稀疏向量α的l0范数最小化问题可获得式(3)的稀疏解，即

(4)

式中:‖·‖0表示l0范数,ξ为噪声阈值。然而，l0范数最小化问题是NP-难问题，其求解难度随着向量α维数的增加而急剧增大，一般难以实现。SL0算法利用一系列高斯函数来逼近l0范数[8]。定义高斯函数fδ(αi)为

(5)

则

(6)

令

(7)

式中:δ为高斯函数形状控制参数。δ越小，高斯函数Fδ(α)越逼近‖α‖0，即

(8)

则式(4)可转化为

(9)

当δ较小时高斯函数Fδ(α)呈高度不平滑性，存在较多局部极小值，则Fδ(α)在逼近‖α‖0时，易陷入局部极小值。为此，本文取δ为一组降序排列的常数[δ1>δ2>…>δJ]，其中δJ趋近于零。然后利用最速下降法求解每个δ值对应的Fδ(α)的最小值，将其投影到可行集上，并把该α值作为下一次迭代的初值，使算法逐渐逼近参数为δ=δJ时的全局最小值。在SL0算法中，计算初值和梯度投影值的表达式分别为

(10)

(11)

由上两式可知，矩阵AA*的求逆精度会直接影响初值和梯度投影值的计算精度。由上述分析可知，MIMO雷达的感知矩阵AMr(N+P-1)×PKH呈严重病态性。对感知矩阵A作奇异值分解：

(12)

(13)

为改善MIMO雷达感知矩阵A的病态性，需要对矩阵A的奇异值作相应的处理。TSVD法是较为常用的一种方法。该方法剔除感知矩阵较小的奇异值及其对应的左右奇异矩阵，以减小噪声对病态方程组伪逆求解的影响，但仅仅剔除矩阵较小的奇异值会使得病态方程组求解的精度不高，病态性改善效果有限。

针对TSVD法的不足，本文提出一种截断修正奇异值方法。该方法对MIMO雷达感知矩阵的奇异值进行二次截断并对保留的奇异值做修正处理，以改善该矩阵的病态性。定义法矩阵为W=AA*，W的条件数(Condition Number)为

C=(σ1/σMr(N+P-1))2。

(14)

式中:σ1和σMr(L+P-1)为矩阵A的最大和最小奇异值。统计经验表明[13],当01 000，矩阵严重病态。因此，选取截断门限σt1满足

(σ1/σt1)2=C，0

(15)

(16)

经式(16)处理后，保留的奇异值为{σ1,σ2,…,σt1}。再次以保留奇异值的均值σt2为截断门限将{σ1,σ2,…,σt1}分成较大和较小的两部分，其中σt2表示为

(17)

然后利用Tikhonov正则化准则[13]对大于等于σt2的奇异值进行修正，即σi=σi+q1/σi；将小于σt2的奇异值修正为与σt2接近的常数值，即σi=q2。上述处理可以采用式(18)表示:

(18)

式中:q1和q2为修正参数。通过对感知矩阵A的奇异值进行两次截断和一次修正处理，能进一步降低矩阵的条件数，从而提高了SL0算法的初值及梯度投影的计算精度，进而改善了SL0算法的稳健性。

(19)

(20)

本文算法步骤如下：

Step1 改善MIMO雷达感知矩阵A的病态性。

Step1-1 对A作奇异值分解，A=UΣV*，Σ=diag(σ1,σ2,…,σMr(N+P-1))，σi为A的奇异值，U、V分别为奇异值对应的左右奇异矩阵。

定义U1和V1分别为修正后的奇异值所对应的左右奇异矩阵。

Step2-1 初始化

Step2-2 算法迭代

forj=1,2,…,J

令δ=δj,利用最速下降法求解Fδ(α)的最小值，并将其投影到可行集上

forl=1,…,L

Step3 根据目标参数向量α的估值中非零元素的位置确定MIMO雷达目标的角度、距离和多普勒等参数信息。

4 数值仿真

本节将通过设计迭代加权Iq方法、TSL0方法以及TMSL0方法的对比实验，从而验证TMSL0方法在MIMO雷达目标信号的重构性能和运行时间上的优势。仿真实验在MATLAB 2012b中完成，计算机配置为：Intel(R) Core(TM)i7-4790处理器,主频为3.60 GHz,内存为8 GB。

(21)式中：tr(·)表示矩阵求迹运算。假设雷达目标探测场景有P=12个距离单元，雷达扫描角度范围[-30°,30°]，以1°为间隔将其划分成61个角度单元，即K=61；目标的多普勒频移用角度表示，即Φh=ωhN(180°/π)[7]，目标多普勒范围[-25°,25°]，以5°为间隔将其划分成11个多普勒单元，即H=11。

在迭代加权Iq算法中，设置迭代次数l=8，迭代范数q=0.9，ε=0.01，η=0.01。在SL0方法、TSL0法及TMSL0算法中，设置σJ=0.01，ρ=0.8，η=0.01，内循环次数L=50，步长因子μ=2。在TMSL0算法中，设置C=25，满足条件0

重构信噪比定义为

(22)

4.1角度单元划分间隔与感知矩阵的列相关值的变化关系

图1 感知矩阵中相邻角度对应的列的相关值与角度单元间隔的变化关系Fig.1 The column correlation values of sensing matrix versus angle interval

4.2各算法的重构信噪比与回波信噪比的变化关系

设回波信噪比在-10～20 dB之间变化，重复100次单独实验。图2为4种算法重构性能与回波信噪比的变化关系。由图2可知，由于TSL0方法和迭代Iq方法在一定程度上改善了感知矩阵的病态性，它们的重构信噪比都明显高于SL0方法。而本文提出的TMSL0方法对感知矩阵奇异值进行二次截断和一次修正处理，进一步改善了MIMO雷达感知矩阵的病态性，其重构性能要优于TSL0方法。

图2 不同方法的重构性能比较Fig.2 The reconstruction performance comparison among various methods

4.3各方法运行时间与回波信噪比的变化关系

设回波信噪比在-10～20 dB之间变化，重复100次单独实验。图3表示4种方法运行时间与回波信噪比的变化关系。迭代加权Iq方法的每次迭代都需要对更新后的大维度矩阵进行求逆运算，导致利用该方法对MIMO雷达目标参数估计耗时较长。TSL0方法和TMSL0方法的运行时间要低于迭代加权Iq方法，虽然TSL0方法和TMSL0方法运行时间相近，但是由图2可知TMSL0方法的重构性能要优于TSL0方法。

图3 不同种方法运行时间对比Fig.3 The running time comparison among various methods

5 结 论

虽然SL0算法能提高MIMO雷达目标参数估计的实时性，但是MIMO雷达的病态感知矩阵会使得SL0算法中初值和梯度投影计算误差较大，进而导致SL0算法失效。针对此问题，本文提出了一种基于截断修正SL0算法的MIMO雷达目标参数估计方法，在TSVD方法基础上，通过设置截断门限将保留的感知矩阵奇异值分成较大和较小两部分，并分别采用不同的修正准则对它们进行修正，然后利用SVD反变换从修正后的奇异值中获得非病态感知矩，避免了SL0算法因感知矩阵病态导致其初值和梯度投影计算误差较大的问题。本文方法能较好地改善MIMO雷达感知矩阵的病态性，从而能有效提高MIMO雷达目标参数估计性能。

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TargetParameterEstimationforMIMORadarsBasedonTruncatedModifiedSmoothedl0Norm

CHEN Jinlia,b,c,LI Weib,TANG Binbinb,LI Jiaqianga,b,c

(a. Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters;b.School of Electronic and Information Engineering；c.Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information Processing,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

Because of the ill-posed sensing matrix,the smoothedl0norm(SL0) algorithm fails to estimate target parameter in multiple input multiple output(MIMO) radars. To solve this problem,the truncated modified smoothedl0norm algorithm for MIMO radars is proposed. Based on the truncated singular value decomposition algorithm(TSVD),the retained singular values of sensing matrix are divided into the larger and smaller by the mean value of singular values. Then,the two groups of the singular values are modified by using different modified criterion. From the modified singular values,the SVD inverse transform is utilized to obtain a non ill-posed sensing matrix. Finally,the SL0 algorithm can be used to reconstruct the target signals in the MIMO radar by taking advantage of the obtained non ill-posed sensing matrix. Therefore,the target parameters can be fast estimated with high accuracy for MIMO radar. The validity of the proposed method is demonstrated with the numerical simulations.

MIMO radar；target parameter estimation;smoothedl0norm(SL0) algorithm；ill-posed matrix；truncated modified singular value decomposition

date:2017-01-18；Revised date：2017-04-14

国家自然科学基金资助项目(61302188，61372066)；江苏省自然科学基金资助项目(BK20131005)；江苏高校优势学科Ⅱ期建设工程资助项目

陈金立**a,b,c，李 伟b，唐彬彬b，李家强a,b,c

(南京信息工程大学 a.气象灾害预报预警与评估协同创新中心;b.电子与信息工程学院;c.江苏省气象探测与信息处理重点实验室，南京210044)

TN957

：A

：1001-893X(2017)09-0998-06

陈金立(1982—)，男，浙江宁波人，2010年于南京理工大学获博士学位，现为副教授，主要研究方向为MIMO雷达信号处理;

Email：chen820803@yeah.net

李伟(1992—)，男，河南周口人，现为硕士研究生，主要研究方向为MIMO雷达信号处理;

唐彬彬(1995—)，男，江苏连云港人，主要研究方向为信号处理;

李家强(1976—)，男，安徽滁州人，2007年于上海交通大学获博士学位，现为副教授，主要研究方向为雷达信号处理。

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.09.004

陈金立，李伟，唐彬彬，等.基于截断修正平滑l0范数的MIMO雷达目标参数估计[J].电讯技术，2017,57(9):998-1003.[CHEN Jinli,LI Wei,TANG Binbin,et al.Target parameter estimation for MIMO radars based on truncated modified smoothedl0norm[J].Telecommunication Engineering,2017,57(9):998-1003.]

2017-01-18；

：2017-04-14

**通信作者：chen820803@yeah.net Corresponding author：chen820803@yeah.net