求函数值域的几种常用方法

张浩嘉

【中图分类号】G633.6

求函數值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

一、配方法

例1求函数y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函数 的值域为【 ，

二、判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式 得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当 y 时，

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

三、非负数法

当函数的解析式中出现绝对值，偶次方幂，算数根和指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3. 求函数 的值域

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为

四、分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4.求函数 的值域

解：

因为

所以

故该函数的值域为[

五、换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5. 求函数 的值域

解：令

所以 （当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为

六、函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6.求函数 的值域

解：设

因为

当 时，t有最小值

又因为 是增函数

所以当

故原函数的值域为

七、反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。……