《植树问题2——方阵》的教学思考与实践研究

陈俊

中图分类号；G623.5

《数学课程标准》提出：“数学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”新课程鼓励学生在独立思考的基础上，主动探究，提倡“算法多样化”并能建立简单的数学模型。但在平时教学中常常遇到这样几个问题：算法“多样化”后要不要“优化”？是不是都要“优化”？怎样的方法才是“最优的”？数学模型什么时候建？要建立怎样的数学模型？

一.择实探究——方法多样

《数学课程标准》明确指出：由于学生的生活背景和思考角度的不同，每位学生的思维水平的差异性必然导致所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡方法的多样化。而方法多样化带来的另一个现实要求是适时引导学生对多种方法进行比较分析，找出其中的规律，最终实现方法的优化。但是，在教学中，方法多样化与合理优化的关系到底该怎么处理？怎样把握其中的“度”呢？

【案例1】《植树问题2——方阵》

情景引入

师：你们看，这里有几盆花？

师简介：“用25盆花摆成了5行5列的正方形阵形叫5×5的方阵。”（板书：方阵）

师：“现在老师拿掉中间的花（课件演示中空方阵），最外面一层每边摆5盆（每个顶点都要放一盆），总共需要几盆？

揭题：研究方阵

择实探究

师：为了方便研究，我们把盆花用点表示。

5×5的方阵最外一层共有几个点？你有几种方法？（提供研究单）

生独立探究、小组合作——四人小组交流——展示汇报（要求说出思路和理由）

方法一：5×4-4=16 方法二：（5-1）×4=16 方法三：（5-2）×4+4=16

方法四：5×2+（5-2）×2=16 方法五：5×5-（5-2）×（5-2） =16

师：“比较这五种方法，你有什么想说的？”

生说：虽然这几种方法看上去不一样，但其实都考虑到四个顶点，重复算就减掉，没有算就加进。

方法六：8×2=16 方法七：2×8=16

师（指着方法六和七）：“那你们看这两种方法怎么想到？”

生1：“我是把它分成两类，然后数一下。”

生2：“我是两个两个数的。”

师：“那你们看这两种方法怎么样？”

生：“当每行的个数比较少的时候还可以，但每行的个数比较多的时候就不方便了。”

师：“每种方法都有它的优点你比较喜欢哪一种？”（生自己思考自己喜欢的一种）

师：“每位同学擅长的也都不一样，请你记住一种你最欣赏的方法。”

【思考】

其实优化的过程只是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制灌输的过程。对一个个体而言，他总是使用自身熟悉或习惯的算法解决问题，因此，个体在解决问题时根本没有必要掌握多种算法，教师应该帮助学生建立几种方法之间的联系。

二.准确拿捏——择时建模

《数序课程标准》提出学生要亲身经历建立数学模型的过程。那么在建模的过程中，我们也常常遇到这样几个问题：在不强调数量关系和未学过字母表示的数的情况下要不要建模？什么时候建模比较合适？要建立怎样的数学模型比较恰当？

【案例1】第一次建模

在学生学习了方阵每边5个点后，分小组合作探究当每边其它点数时，用自己喜欢的方法计算出总点数，然后找出内在规律。

教师提供研究单：

最外层每边放的个数（4个顶点都要放） 最外层一共放的个数

我发现每边n个时，总个数是

通过研究发现，学生知道每个具体个数时能用自己的方法算出總个数，但当每边n个时，学生不知所然。

学生1：“老师，n是几个？”

学生2：算出总个数是n，问其怎么想的，说：“n表示不知道，那么总个数也是不知道，所以用n表示。”

【反思】这是一次失败的尝试（平行班试教），是不是因为四年级的学生还没有学过字母表示数的原因？还是数学模型的建立需要些什么？笔者进行了第二次尝试。

【案例2】第二次建模

1.巩固方法：在研究每条边5个棋子的方阵后，师出示：“如果每条边改成10个棋子，你能求出总颗数吗？”

学生用自己喜欢的方法列式计算，汇报。（学生列出算式后，问他采用的是哪种方法。）

2.生活运用：围棋盘的最外层每边能放25个棋子。最外层一共可以放几个棋子？

①25×4-4=96 ②（25-1）×4=96

③（25-2）×4+4=96 ④25×2+23×2=96

⑤25×25-23×23=96

3.因势利导：师：“如果每条边有n个棋子你还能用你的方法列出算式吗？”

生1：“n×4-4”。

师：“他用的是哪一种方法？”

生：“第一种。”

师：“那如果用其它的方法你也能列出算式吗？”

生2：“（n-1）×4”。

生3：“（n-2）×4+4”。

【思考】《数学课程标准》倡导以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式。在之前放手让学生独立思考和小组讨论并没有得出基本的模型，经历第二次尝试在加深理解、巩固练习和因势利导下学生自然而然地得出了自己那种方法的基本模型。

思考第一次建模为什么失败？数学模型需要学生有独立自主的研究能力和知识的抽象概括能力。显然第一次是老师理想状态下的建模学习，小学生的认知水平、学习能力并没有达到这种状态。在第二次建模中坚持让学生用同一种方法解决不同情形的问题，从而能轻而易举地让学生对每一个算式用精确的语言进行描述。当学生对自己的方法理解到位同时能用语言描述时也是建立数学模型的水到渠成时。

【结语】学生的思维存在差异性和层次性，我们的老师需要慢慢等待，不应为了优化而优化，为了建模而建模，一切建立在学生的基础上。让每位孩子的潜能都得到开发，每位孩子在数学学习上都得到不同的发展。