多元函数的Taylor公式及其应用

张雁磊

【摘要】我们知道一元函数的Taylor展式[1]在一元函数的微分学中有着重要的应用，而多元函数的Taylor展式在多元函数的微分学中同样有着重要的作用。本文首先给出多元函数的Taylor展式及其唯一性的证明，然后给出例题说明Taylor的重要应用。

【关键词】多元函数；Taylor展式；唯一性；应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）02-0282-02

一、多元函数Taylor展式唯一性定理

这里只给出二元函数的Taylor展式及其唯一性定理的证明，对于多元函数Taylor展式[2]及其唯一性定理可进行类似的证明。

定理：假设f（x，y）具有n+1阶连续偏导数[3]，则在（x0，y0）用某种方法可得展开式：

（1）

其中：

则必有：

证：已知f（x，y）有n+1阶连续偏导数，故f（x，y）的Taylor公式成立：

（2）

（1）减（2）式，便得0函数展开式

（3）

其中：

因此，我只要由式（3）推出Bij=0（i+j=0，1，2…n）即可，作变换ζ=x-x0，η=y-y0，对于变量（ζ，η），式（3）变成为：

（4）

现证明Bij=0（i+j=0，1…n，i，j为非负正数）

首先在上式中，令ρ→0，便得B00=0

再令η=αζ则（4）式变成：

（5）

设ζ≠0，用ζ除此（5）式，令ζ→0，得 B10+αB01=0因为α为任意实数，所以B10=B01=0此时（5）式成为：

（6）

类似地，（6式）除以ζ2，再令ζ→0，得B20+αB11+α2B02=0由α为任意实数，便得B20=B11=B02=0从而（6）式变成：

如此继续下去，可得一切Bij=0（i+j=0，1…n，i，j为非负正数）证毕。

二、应用举例

我们知道一元函数的Taylor展式在一元函数的微分学中有着重要的应用，同样多元函数的Taylor展式在多元函数的微分学中也有着重要的应用，下面只给出其在凸的有界闭区域上，证明有连续一阶偏导数的多元函数满足Lipschitz条件[4]和有连续的二阶偏导数的多元函数为凸函数的充要条件为Hessian矩阵[5]在凸的有界闭区域上为半正定的两个重要应用。

例1.设DRn为凸的有界闭区域，f（P）在D上有连续的一阶偏……