一类以“拐点”为背景的函数试题解法及思考

2017-10-16 05:18湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区李红春邮编430312
中学数学教学 2017年5期
关键词:分界点切点拐点

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春 (邮编:430312)

一类以“拐点”为背景的函数试题解法及思考

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春 (邮编:430312)

函数是高中数学的核心内容,以高等数学知识为背景的函数题,因其背景公平,能考查学生临场应变能力,和后继学习的能力,倍受命题者的青睐.通过研究发现,以高等数学中的“拐点”知识为背景的试题正悄然升温,值得关注.

1 “拐点”的概念

拐点,又称“反曲点”,是函数图象凸凹的分界点,是函数的一阶导函数单调性发生改变的点,直观地说,就是使切线穿越曲线的点.对于可导的函数f(x)而言,若其在拐点处有二阶导数,则二阶导数为零,且二阶导数在拐点附近两侧异号.比如:顺着x轴的正方向看,在x=0附近,f(x)=x3图象从上凸变为下凸,函数f(x)=sinx的图象从下凸变为上凸,所以零是它们的拐点.有些函数可能没有拐点,如二次函数,有些函数只有一个拐点如f(x)=x3,而有些可能有多个,如f(x)=sinx.

2 应用

考点1拐点处的切线“穿越”曲线

例1已知函数f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的方程为l:y=g(x),若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域),当x≠x0时,(f(x)-g(x))(x-x0)<0恒成立,则称x0为函数f(x)的“分界点”,已知函数f(x)满足则函数f(x)分界点的个数为______.

解法1,故可设f(x)=6x-x2-4lnx-c,由f(1)=5,得c=0,即f(x)=6x-x2-4lnx,(f(x)-g(x))(x-x0)<0⇔当x∈(0,x0)时,f(x)-g(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,f(x)-g(x)<0;依题意得,

故h(x)=f(x)-g(x)=6x-x2-4lnx-,则令得.故当x0=2时,对∀x∈(0,+∞),都有h′(x)<0,函数h(x)为减函数,而h(x0)=0,则对任意x∈(0,x0),h(x)>h(x0)=0,即f(x)-g(x)>0;当x∈ (x0,+∞)时,h(x)<h(x0)=0,即f(x)-g(x)<0;所以x0= 2是“分界点”.当x0> 2时,对任意x∈),h′(x)<0,h(x)为减函数,当x∈时,h′(x)>0,h(x)递增,则存在m使得h(m)<h(x0)=0,这与“分界点”的要求矛盾.同理,当0<x0< 2时,也不符合题意.

故“分界点”的个数只有一个.

解法2f′(x)=6-故可设f(x)=6x-x2-4lnx-c,由f(1)=5,得c=0,即f(x)=6x-x2-4lnx,x∈ (0,+∞),于是f″(x),令f″(x)=0,得又f″(x)在两侧异号,故是图象的拐点,亦即是题目中的“分界”点.

图1

点评本题是一个新定义型试题,本质上是高等数学中的“拐点”用简单明了的初等数学式子进行包装,相对于解法1的繁琐,解法2从本质出发,即切线在切点处“穿越”了曲线,且切点两侧不再有交点.如图1所示,当时,f″(x)>0,f′(x)递增,即曲线的切线斜率由小变大;当时,f″(x)<0,f′(x)递减,即曲线的切线斜率由大变小.可见曲线的切线在横坐标x=2的切点处“穿越”了曲线,且除了切点再无其他交点,2就是函数f(x)的拐点.

考点2拐点与对称中心

例2(湖北省2016届八校联考题)已知直线x-9y-8=0与曲线C:y=x3-px2+3x相交于A、B,且曲线在A、B处的切线平行,则实数p的值为( )

A.4 B.4或-3

C.-3或-1 D.-3

解法1由y=x3-px2+3x,得:y′=3x2-2px+3,设A(x1,y1),B(x2,y2),则曲线C在点A、B处的切线斜率分别为,令+3=m,则x1、x2是方程3x2-2px+3-m=0的两个根,则,一方面

当p=-1时,曲线C:y=x3+x2+3x,y′,曲线C与直线x-9y-8=0只有一个交点,舍去.

故p=4或-3.

解法2y′=3x2-2px+3x,y″=6x-2p,由y″=0得则,于是曲线C的对称中心为

将对称中心代入直线x-9y-8=0,得p3-13p-12=0,解之得:p=-1,-3或4,后略.

点评作为一道选择题,解法1计算量大,变形较为复杂,是典型的“小题大做”;解法2由题意出发,分析出直线必过三次函数的对称中心后,先借助二阶导数,求出函数f(x)的对称中心,再代入直线方程求解,解答简洁明了,应该是命题者的初衷.事实上,三次函数的拐点就是其对称中心的横坐标.

2.3考点3拐点偏移

一般地,对于可导函数f(x),若x=n是其拐点,那么:①当函数f(x)的图象在点(n ,f(n))两侧(两侧附近)的图象具有中心对称性时,拐点即是函数图象(或局部图象)的对称中心,这时若f(x1)+f(x2)=2f(n),则x1+x2=2n;②若函数f(x)的图象在点(n ,f(n))两侧(两侧附近)的图象不具有中心对称性时,我们形象的称之为拐点发生了“偏移”,这时若f(x1)+f(x2)=2f(n),则x1+x2≠2n,具体说,当x1+x2>2n,则拐点左偏;当x1+x2<2n,则拐点右偏.

例3(武钢三中2017届高三训练题)已知函数f′(x)为f(x)的导函数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)图象上不同的两点,且满足f(x1)+f(x2)=0,求证

证明≥0,即f(x)在(0,+∞)内递增,不妨设x1<x2,注意到结合函数的单调性知:,要证而f(x1)+f(x2)=0,即只需证

例4(黄陂一中2017届高三周练题)已知函数f(x)=2lnx+x2+x,若正实数x1、x2满足f(x1)+f(x2)=4,求证:x1+x2≥2.

证明,故f(x)在(0,+∞)内递增,不妨设x1≤x2,由f(1)=2知,x1≤1,x2≥1,要证x1+x2≥2⇔x1≥2-x2⇔f(x1)≥f(2-x2)⇔4-f(x2)≥f(2-x2)⇔f(x2)+f(2-x2)≤4.设F(x)=f(x)+f(2-x),x≥1,则

即F′(x)≤0,故F(x)在 [1 ,+∞)内递减,于是F(x)≤F(1)=2f(1)=2×2=4.

点评以上两道试题都是已知f(x1)与f(x2)的关系,证明与x1、x2有关的不等式,若从条件中的双变量函数方程出发,要用x1、x2中的一个量表示另一个量很难,于是从结论着手,采用分析法,借助函数f(x)的单调性,将待证的不等式不断等价转化,最终归结为只含有x1或x2的不等式,最后通过构造函数,借助单调性解决问题.

本质上讲,极值点偏移刻画的是函数图象的“轴对称”形态,而拐点偏移刻画的是函数图象的“中心对称”形态.从近年来,“极值点偏移”问题已经连续多次出现在高考试卷中,如2010年天津卷、2011年辽宁卷、2013年辽宁卷、2016年全国乙卷等,高考命题讲究传承与创新,所以笔者认为:“拐点偏移”问题极有可能成为下一轮高考命题的新热点,值得关注!

2017-07-05)

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