鳖臑定义探究

安徽省教育科学研究院 胡 涛 (邮编:230061)

初 数研 究

鳖臑定义探究

安徽省教育科学研究院 胡 涛 (邮编:230061)

“堑堵”、“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓,它们的形状特征如何,古代没有借助线面之间的位置关系对其进行定义,而是从其形成过程予以说明的．

《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也．”其意思是说:把长方体沿对角面切开,得到的两个三棱柱,称为堑堵,再沿堑堵的一个顶点和相对的棱将其剖开,得一个四棱锥和一个三棱锥,分别称为阳马和鳖臑,它们的体积之比为2∶1(如图1)．

图1

由此解释可知,阳马是底面为矩形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．如底面为直角三角形,还有一条不经过底面直角顶点的棱垂直底面,则这样的三棱锥是鳖臑(如图2),诚如刘徽所注:中破阳马,得两鳖臑．

图2

但在《九章算术》又是这样定义鳖臑的:四面都是直角三角形的三棱锥．因此,不免让我们对这两种说法对应的几何体形状是否一致产生疑问．

下面先就此问题展开探究:

记p为:三棱锥的底面为直角三角形,且有一条不经过底面直角三角形的直角顶点的棱垂直于底面．

q为:三棱锥的四面都是直角三角形．

下面证明:p⇔q

1．先证p⇒q

图3

如图3,设三棱锥ABCD的底面是直角三角形,

则BD⊥CD,AB⊥平面BCD,易证AB⊥BD,AB⊥BC,CD⊥AC,

故三棱锥A－BCD的四面都为直角三角形．

2．再证q⇒p

引理1若一个三棱锥的四面都是直角三角形,则不存在这样的顶点,它同时是三个直……