数学解题有妙招

刘长飞

提起数学教学，每个老师都有不同的感触，但有一点是相同的，即都认为学生数学成绩两极分化现象非常严重。这种情况既不利于教学，又加大了备课难度，课堂效果差。因此，我试以几何教学为例，探讨如何培养学生的解题能力。

一、培养兴趣，促进成功

心理学研究告诉我们：人都有想要达到目的的愿望，当他愿望实现时，就会感到由衷的满足，甚至盼望“举一反三”。学习也不例外。只要教师在教法上多用心，因材施教，调好学生特别是差生的“胃口”，对学生的进步给予及时的鼓励，一定会有所收获。

二、强化记忆，把握特点

如何充分利用大脑，让装进大脑的东西留下永久的记忆，需要我们学会记忆。

一般來说，人们容易记住自己感兴趣、有特点、易理解的东西，而对那些枯燥、抽象的东西不易记住。因此，对几何的概念、公式要强化记忆、重复记忆。特别要注意几何图形和概念、公式的逻辑关系，不能死记硬背。

记忆忘却是有规律的，因此要反复记忆，最好把概念、公式运用于实例中，强化记忆。

三、培养逻辑思维和推理能力

学生在几何证明题中常遇到以下几个问题：心里明白，但不会书面表达；推理乱，证题过程繁琐。究其原因，主要是对逻辑思维及推理能力的基本功训练较差。要提高这方面的能力，教师应做好以下几个方面的工作。

1.分析已知条件，通过联想，让学生掌握由因索果的思维方法。

题目的已知条件是完成结论的前提和基础，也是由已知向结论过渡的出发点，“联想”则是过渡的桥梁。经常训练学生解析已知条件，联想与其有关的定义、公理和定理，逐步引导学生推理论证，可有效克服证题入门难的缺陷。

如题：已知在△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。求证：DB=DO=DC。

学生审题后，教师引导学生边想边议，不断解析已知条件，再通过联想，向求证的结论靠拢：由内心的定义知，三角形内角平分线相交于点O，进而可联想到∠A的平分线必过点O，则A、O、D三点在一条直线上，于是∠BAD=∠DAC的结果就可根据已知条件的解析推出。

因∠A的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，通过观察就可想到A、B、D、C四点共圆，即可联想出和圆有关的圆周角、圆心角以及这些角所对的弧、弦之间的关系定理，这样首先可证出BD=DC。

要证DB=DO，就得找过渡条件。如设法造出一个等腰三角形，再借助三角形内心及外接圆的关系，可以想到连接BO，于是由三角形外角定理、圆周角定理推得∠OBD=∠BOD→DB=DO，从而使原题得证。

2.从分析结论产生联想，培养由果追因的思维方法。

通过分析结论产生联想，由果索因是几何证题中常用的另一种基本逻辑思维方法。

如题：若O是△ABC的内心，AO的延长线交这个三角形的外接圆于D，交弦BC于点E，求证：AB·AC-BE·EC=AE2。

显然，这里如果仍采用已知向结论顺推， 就显得关系较远，不易思考。如果从结论出发，通过对结论的解析，分析它是在怎样的条件下成立的，就会让问题变得容易。

教师可提示学生要完成一个等式的证明，通常可以从等式的一边着眼，通过解析向另一边靠拢。如果从左边入手可作如下解析：

（1）等式左边是一个“差”，其中含有AB·AC和BE·EC两个积。

（2）AB·AC是两条线段的积，而积往往是比例线段的另一种表达形式，它必与另两条线段之间有比例关系，只要通过证两个三角形相似，即可建立一个比例式。教师在引导学生探求题中已知条件是否提供了△ABE∽△ADC时，就使结论与已知条件产生了有机的联系，学生的思路得到打开。

（3）同理解析BE·EC。

（4）建立两个关系式后，教师应进一步向学生指出，在论证过程中注意观察原式的右边，设法向右边靠拢，这样两式相减即可推出右边，完成结论证明。

这种分析综合的思维方法对解决复杂题很有帮助。一方面，用综合法探求解题途径，用递推的方法使之逐渐接近结论；另一方面，用分析法设法先找一个包含旧结论而又容易从已知条件推出的新结论，以代替旧结论。这样两头夹攻，可逐步缩短已知和求证之间的逻辑距离。

3.教会学生用精练、简明的书面语言叙述、表达的能力。

书面表达论证题目的过程不仅是逻辑思维条理化的过程，而且是逻辑思维能力提高的过程。几何证题不仅要求步骤简明、精练，还要求图形正确、格式合理。因此，怎样画图、叙述、排列格式，甚至如何用“因为”“所以”等符号都属于逻辑推理的训练内容。

我从以下几个方面对学生进行训练。

（1）严格要求、训练。从思维方法、逻辑语言、板书规范等方面给学生做出示范。

（2）从课堂问答到课外作业都要求学生做到一丝不苟。

（3）对于典型习题，要求学生先仿作，再过渡到独立作业，发现问题后及时点拨。

（4）定期组织习题指导课，有计划地进行指导和训练。

（5）及时肯定学生有创见的解题方法。

4.多给学生想、练、问及讨论的机会，调动学生的思维。

课堂中有意识地启发学生多想、多练、多问，并开展多种形式的讨论。特别是几何教学中，可提出如下问题，激发学生的思考和讨论。

（1）已知条件的命题有哪些？由已知条件可以联想到哪些已学过的定理？这些联想中哪些知识类似所求的结论？如果不能直接靠拢，可选择怎样的辅助线向结论靠拢？

（2）学生提出某种思路时，可设问，为什么要选择这种方法？还有别的方法吗？如果有，它与哪些条件有关联？

（3）对于适宜用分析法的题，可设问，要完成这个结论的证明，必须具备什么条件？这些条件又与哪些知识有关？如何利用这些知识推出所证结论？

综上所述，数学教学中，只要教师通过合理的训练，使学生学会思考的方法，养成思考的习惯，掌握思考的规律和表达技巧，就能很好地完成培养学生逻辑思维及推理能力的任务。endprint