一道数学竞赛题的多视角解法探究

伍 晖 颜 青

江西省南昌市心远中学 (330000)

一道数学竞赛题的多视角解法探究

伍 晖 颜 青

江西省南昌市心远中学 (330000)

图1

近日一道竞赛题由于其新颖别致、解法多样，引起了笔者的注意，题目是这样的：

题目如图1，在△ABC中，CB=a，CA=b，∠ACB=θ(a≥bcosθ)，AD=BD，且∠ACB+∠ADB=180°，求CD的长度．

这是一道关于长度的竞赛题，条件简洁明了，形式优美，设计新颖，入口较宽，从不同的角度可以得到多种解法，能够较好地考查学生分析问题、解决问题的能力．

视角1：四点共圆

通过分析题意，发现四点共圆，然后利用圆的性质，比如相交弦定理、切割线定理、托勒密定理等来解决问题．

1．1 利用托勒密定理

图2

评注：这里是通过发现A、C、B、D四点共圆，利用托勒密定理列出方程从而求得线段CD的长度．

1．2利用角平分线定理

评注：这里在发现四点共圆的基础上利用角平分线定理，非常简洁地列出了等量关系．

视角2：构造补形

2．1 构造等腰三角形

图3

2．2 构造全等三角形

图4

评注：由三角形组成的平面几何问题，往往可以考虑作全等三角形，比如这里可以考虑把△CDA变换到△B1DB位置．

图5

2．3 利用角平分线截长补短

视角3：解三角形

3．1 利用正、余弦定理

利用正弦定理和余弦定理进行边角互化来计算线段的长度，虽然运算较繁，但可省去添辅助线的麻烦．

图6

3．2 利用面积法

评注：此处利用面积的两种不同表示列出等量关系，从而求出线段CD的长度，简洁明了．

视觉4：坐标解析式法

解法8：如图7，以△ABC的外心为原点，且x轴平行于边AB，建立平面直角坐标系,设△ABC的外接圆半径为R，则有

图7

因为……