关于欧拉不等式一个猜想的改进

黄银珠

福建省福州市闽侯县上街实验学校 (350108)

关于欧拉不等式一个猜想的改进

黄银珠

福建省福州市闽侯县上街实验学校 (350108)

设ΔABC的三边为a,b,c，外接圆和内接圆半径分别为R,r，则有不等式R≥2r，此即为著名的欧拉不等式.文[1]提出欧拉不等式的如下加强猜想.

文[2]中给出该猜想的验证.事实上，早在1974年，就已有如下更强的结论[3]

因为(a+b+c)(a3+b3+c3)-(a2+b2+c2)2=∑ab(a-b)2≥0(Σ表示轮换对称求和).

本文将式(1)作进一步的改进，建立了与式(2)不分强弱的结论

定理设ΔABC的三边为a,b,c，外接圆和内接圆半径分别为R,r，则有

结合欧拉不等式可知式(3)成立.

由欧拉不等式还可得如下推论

推论设ΔABC的三边为a,b,c，外接圆和内接圆半径分别为R,r，则有

[1]马占山,何慧敏.一个与欧拉不等式相关的不等式问题的证明[J],中学数学研究(江西),2016,2:19-20.

[2]何灯,田芳松.欧拉不等式的一个加强猜想的验证[J],福建中学数学,2016,6:9.

[3]匡继昌.常用不等式[M].(4版)济南:山东科学技术出版社,2010,243.