圆锥曲线切点弦的一个统一性质
——对一道高考解几试题的探究所得

陈学忠

福建省仙游第一中学 (351200)

圆锥曲线切点弦的一个统一性质
——对一道高考解几试题的探究所得

陈学忠

福建省仙游第一中学 (351200)

2016高考全国卷Ⅰ文科试题题20是：

如图1，在直角坐标系xOy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

这是一道难度适中内涵丰富，值得深入探究的高考试题，本文拟对此进行一番探究.

结论1.1 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过y轴上的点M且平行于x轴的直线与抛物线C、弦OH(O为坐标原点)分别交于点P、N，若MP=PN，则ON=NH，且直线MH与抛物线C相切于点H.

一、逆向探究：探究结论的逆命题

探究1 结论1.1的逆命题成立吗？即若直线MH与抛物线C相切于点H，那么MP=PN且ON=NH能否成立？

结论1.2 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过y轴上的点M且平行于x轴的直线与抛物线C、弦OH(O为坐标原点)分别交于点P、N，若直线MH与抛物线C相切于点H，则MP=PN，ON=NH，且直线OH与抛物线C在点P处的切线平行.

二、纵向探究：把特殊弦“OH”换为抛物线C的任意弦“AH”

由点M在y轴上且原点O为抛物线C的顶点，易知MO为抛物线C在点O处的切线；反之，若直线MO与抛物线C相切于点O，则点M必在y轴上.故结论1.2可改述为

结论1.3 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过C外一点M且平行于x轴的直线与抛物线C、弦OH(O为坐标原点)分别交于点P、N，若直线MO、MH与抛物线C分别相切于点O、H，则MP=PN，ON=NH，且直线OH与抛物线C在点P处的切线平行.

探究2 上述结论中的弦OH是以抛物线C的顶点O为一个端点的特殊弦，如果把其推广为抛物线C的任意弦AH，那么相应的结论能否成立？

性质Ⅰ 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过C外一点M且平行……