2017年全国卷III理科第12题的解法探究

广东省东莞市东莞中学(523005) 于涛

2017年全国卷III理科第12题的解法探究

广东省东莞市东莞中学(523005) 于涛

高考试题凝聚了命题专家的集体智慧,具有权威性、示范性、借鉴性,尤其是压轴题的设计力求情境熟悉,知识综合,方法灵活.研究高考试题能促进教学,推动学生应用知识,在发散思维的过程中,有时也会发现意想不到的结论.本文对2017年全国卷III理科第12题进行了深入的研究,在此与读者分享.

1.高考真题,情景再现

题目 (2017年全国卷III理科第12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则λ+µ的最大值为( )

本题以向量与解析几何为背景,以二元函数的最值问题为设问,将几何、代数、函数融为一体,力求考查学生综合运用解析几何、线性规划、三角换元、平面向量、平面几何等知识的能力.解题时,要准确把握题目设问,选择恰当的方法解决问题.

2.多维思考,解法研究

策略一 (解析几何法) 对于求二元函数的最值问题,可以用直角坐标系辅助,找到二元满足的等量关系,再根据具体条件应用规划、不等式、三角换元、直接消元等方式,求解相关最值问题.

图1

解析 如图1,以A为坐标原点,AD、AB分别为x,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0).设P(x,y),由等面积法求得圆的半径为,故圆的方程为故,即原问题转化为已知求的最大值.

题目有两组变量,一组是λ,µ,一组是x,y.因此,在得到x=2µ,y=λ的关系后,需要思考是将x,y的等量关系

转化为

还是将二元函数λ+µ转化为经过对运算量的预估,选择转化为变量x,y的相关问题,问题转化后的具体解法过程如下.解法1(线性规划) 设目标函数即的可行域为圆

平行推动直线知相切时取得最值,由

得z=3或z=1,所以z的最大值为3,即λ+µ的最大值为3.

解法2(三角换元)由圆的参数方程设

则

解法3(柯西不等式)由柯西不等式得

策略二 向量基底法 分别用向量−→AP与基底的两个向量作数量积,得到λ,µ的方程组,求解出λ,µ或将λ,µ转化为一元问题.

解法4(向量基底法)由

故

故

由①,②,③及④,得

策略三 平面几何法 平面几何法是向量三点共线结论的拓展与平面几何知识的综合应用.

解法5(平面几何法)如图2,作直线BD的平行线l,使得l与圆C相切于点P,分别与直线AB、AD的延长线交于点E、F,AP与BD交于点M,经计算得,则

所以λ+µ=3x+3y=3,易知l与圆C相切于点P时,λ+µ的值最大,其最大值为3.

图2

3.深化思维,拓展推广

平面几何法是平面向量基本定理的拓展延伸,该拓展延伸称为等和线结论[1]:如图3,已知为平面内两个不共线的向量,点M满足若点M为直线l上任意一点,当且仅当直线l//AB时,x+y=m为定值.具体的,当l过点P时,m=0;

当l与AB在点P的同侧时,

当l与AB在点P的异侧时,

图3

图4

等和线结论给用平行线找比例关系求平面向量双参数和的最值问题提供了理论依据,简化了有关向量的广义线性规划问题的求解,但目标函数仅限于的类型.经过探究,将该结论推广至一般情形.

若点M为直线l上任意一点,当且仅当直线l//AB时,λx+µy=m为定值.具体的,当l过点P时,m=0;

当l与A′B′在点P的同侧时,

当l与A′B′在点P的异侧时,

4.变式迁移,结论应用

变式1如图5,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动(包含边界),设求x+y的取值范围.

图5

图6

解 如图6,应用等和线结论,当点P为圆C与直线BD的切点时,x+y取得最小值,故(x+y)min=1;当点P为圆C与直线l(l//BD)的切点时,x+y取得最大值,此时切线l与AB的延长线交于点E,由平面几何知识可求得BE=1,故所以x+y的取值范围为[1,2].

变式2如图7,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,动点P在△BCD内运动(包含边界),设

(1)求2x+y的取值范围;

(2)求2x−4y的取值范围.

图7

图8

图9

解 (1)如图8,应用等和线结论的推广,取AB的中点B′,则

当点P为直线B′D与区域△BCD的公共点D时,2x+y取得最小值,故(2x+y)min=1;当点P为直线l(l//B′D)与区域△BCD的公共点C时,2x+y取得最大值,此时直线l与AB′的延长线交于点E,由平面几何知识可求得故所以2x+y的取值范围为

(2)如图9,应用等和线结论的推广,取AB的中点B′,在AD的反向延长线上取点D′,使AD=4AD′,则

当点P为直线l1(l1//B′D′)与区域△BCD的公共点B时,2x−4y取得最大值,故

当点P为直线l2(l2//B′D′)与区域△BCD的公共点D时,2x−4y取得最小值,故

所以2x−4y的取值范围为[−4,2].

本文通过对平面向量双参数和的问题的解法探究,回归向量问题的几何属性,以等和线结论及其推广的应用,展示了该几何解法的简洁与直观,避免了大量的代数运算.对高考真题的研究,是挖掘本质的过程,教学中可以通过引导学生发现问题、分析问题,进而“创新”出一些源于课本高于课本的结论,这样能更好的激发学生学习的兴趣.

[1]马海龙.平面向量三点共线和等和线的妙用[J].数学之友,2014(4):61–62.