2017年全国卷II文科第21题的待定常数法的解法探究

广东省雷州市第八中学(524232) 魏 欣 邓春梅

2017年全国卷II文科第21题的待定常数法的解法探究

广东省雷州市第八中学(524232) 魏 欣 邓春梅

一、原题展示

(2017年高考课标卷II文科第21题)设函数f(x)=(1−x2)ex.

(I)略;(II)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

二、试题分析

本题考查了函数的单调性和恒成立问题.以含参数不等式问题为载体,既考查学生的分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想和函数方程及不等式思想,又考查学生分析问题和解决问题的能力.

三、解法探究

解析 (I)略;(II)(应用分离参数法和洛必达法则)

①当x=0时,f(0)=(1−02)e0=a·0+1,此时a∈R.

②当x＞0时,

记p(x)=(−x3−x2+x−1)ex+1,则

故p(x)在(0,+∞)上单调递减,且p(0)=0,故p(x)＜0,即h(x)在(0,+∞)上单调递减.由洛必达法则,知

故a的取值范围是[1,+∞).

上述方法,先用分离参数法再构造函数,最后用洛必达法则求得构造函数最值.但洛必达法则毕竟是大学的内容.下文我们用待定常数法来解决此问题,并对近几年高考题阐述如何用待定常数法化解分离参数法之困惑.

另解 (待定常数法)当x＞0时,为了降低运算量,对

构造含有待定常数的函数式,如:设g(x)=(1−x2)ex−kx−1(x∈(0,+∞)),其中k是待定的常数.则

待定的常数是这样确定的,使构造的函数的导函数值在定义域内不小于(不大于)零.如:若k=1,则

在(0,+∞)上,g′(x)＜0,所以g(x)单调递减,g(x)＜g(0)=0,(1−x2)ex−x−1＜0,

要证明f(x)=(1−x2)ex＜ax+1(x＞0),只需证明

由①②得,a≥1.综上所述,a的取值范围是[1,+∞).

用待定的常数解决此类问题,关键使构造的函数的导函数值在定义域内不小于(不大于)零.下面通过近几年高考题阐述如何用待定常数法求解此类问题.

例1(2016年高考新课标II文科第20题)已知函数

(I)略;(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.

解 (待定常数法)(II)当x∈(1,+∞)时,

设g(x)=(x+1)lnx−k(x−1)(x∈(1,+∞)),其中k是待定的常数,则

若k=2,则

所以,在(1,+∞)上h(x)单调递增,

所以g(x)单调递增,

即当x∈(1,+∞)时,(x+1)lnx−2(x−1)＞0,

由①②得,a≤2.故a的取值范围是(−∞,2].

例2 (2016年四川高考理科第21题)设函数f(x)=ax2−a−lnx,其中a∈R.

(I)略;(II)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立.

即

所以g(x)在x∈(1,+∞)单调递增.所以g(x)＞g(1)=0,即当x∈(1,+∞)时,

所以

由③④得,故a的取值范围是

例3 (2010年全国新课标理科第21题)设函数f(x)=ex−1−x−ax2.

(I)略;(II)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

解 (待定常数法)当x=0时,f(0)=e0−1−0−a02=0,此时,对任何a∈R,f(0)≥0成立.

当x＞0时,

设g(x)=ex−1−x−kx2(x＞0),k是待定的常数.则

设h(x)=ex−1−2kx(x＞0),则h′(x)=ex−2k.若在(0,+∞)上,h(x)单调递增,h(x)＞h(0)=0,即g′(x)＞0,所以g′(x)在 (0,+∞)

由⑤⑥得,.综上所述,a的取值范围是

四、真题回顾

如下的六道真题均可以用上述的待定常数法予以求解,由于篇幅关系,此处解题过程从略.

1.(2014年新课标II理科第21题)已知函数f(x)=ex−e−x−2x.(II)设g(x)=f(2x−4bf(x)),当x＞0时,g(x)＞0,求b的最大值.

2.(2015年山东理科第21题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),其中a∈R.(II)若∀x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.

3.(2014年陕西理科第21题)设函数f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x)(x≥0),其中f′(x)是f(x)的导函数.(II)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.

4.(2010年高考新课标II文科第21题)已知函数f(x)=x(ex−1)−ax2.(II)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.

5.(2007年全国I理科第21题)设函数f(x)=ex−e−x.(II)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

6.(2006年全国 II理科第 21题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),(II)若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

五、解法启发

求参数取值范围的问题常常是高考的压轴题,通常的解法是分类讨论,但是考生在有限的考试时间内进行分类讨论、等价转化、诸多之母的复杂运算,是很难正确解答的.因此,我们可以利用上述的待定常法来解决这类问题,先用分离参数法再构造函数,在求所构造函数函数的最值时,关键使构造的函数的导函数值在定义域内不小于(不大于)零,再利用函数的单调性,求出构造函数的最值.这样,我们就可以大大减少运算量,避免分类讨论等诸多复杂问题,从而提高我们的得分.

另外,纵观近几年高考导数压轴题,都考查此类问题,体现了高考试题“常考常新,推陈出新”的理念,所以我们要对这类问题进行总结,并提出更加简便的通性通法,对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法,同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源,使我们更深刻地认识问题,将新旧解题经历跨时空贯通起来,这又是一个新的开始.

[1]魏欣.一道导数高考模拟题的启示[J].中学数学研究.2013(10上):37-39.

[2]邓军民.高考数学热门考点与解题技巧[M].广州出版社.2016.