GeoGebra在立体几何教学中的应用

【摘要】GeoGebra是一款新型的动态数学软件，功能强大，操作简单，特别在高中立体几何中教学中能更好地帮助教师教学，也可以激发学生兴趣，培养学生空间几何感，助于学生直观想象素养的形成与发展。

【关键词】GeoGebra；几何教学；立体几何

【中图分类号】O12 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）03-0062-02

在高中数学教学中，立体几何一直是是高中数学几何教学过程中的重要任务之一，也是高中生学习难点之一。对于立体几何来说，从初中平面思维到高中的空间三维的扩展和提升对学生的认知来说是一次重要的跨越，因此学生在学习过程中往往缺乏空间想象能力，空间知觉与图形认识能力发展的不足，故需要教师为学生建立适当的“支架”。

目前在我国大陆的中小学，教师习惯用几何画板进行教学，而几何画板本设计意图是用于平面几何的教学，绝大部分是基于尺规作图完成，在立体几何中的图形三维呈现是其短板所在。而近半年，笔者通过对一种新的动态数学软件——GeoGebra的学习与研究，发现它可以完全替代几何画板并且几乎囊括从幼儿园到高等教育中所有的数学知识。故写就此文，想让更多数学教师和在校师范生了解给个别让的强大功能和易用性，并迅速在我国中小学数学教育界推广此软件。

一、 GeoGebra软件简介

GeoGebra（Geometry+AlgeBra，以下简称GGB）是2002年由美国佛罗里达州亚特兰大学Markus Hohenwarter教授及其团队开发的的一款免费的便于操作的动态数学软件。GGB发展至今已经有超过五十种语言的应用版本，在世界上近两百个国家广泛使用，在国际上获得十余项大奖。目前在我国的台湾香港地区应用较广，大陆目前仍处于发展阶段，但已经不少的教师对其有所了解。2011年5月，在曹一鸣教授牵头下中国GeoGebra研究学院在北京师范大学成立，而后天津师范和南京师范也分别成立GeoGebra研究院，这为GGB在大陆的研究与发展提供了广阔的平台。

下文笔者就GeoGebra在高中立体几何的概念和解题教学内容中，给出具体实例，供广大教师与在校师范生参考。

二、运用GeoGebra在立体几何教学中运用

（一）概念教学

示例1：祖暅原理与球的体积

分析 助于学生理解祖暅原理，从而经历求半球体积的过程，关键是找出一个满足条件并能能够求出的体积的几何体，发现半球体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱圆锥体积之差。而理解祖暅原理的本质，以及理解利用祖暅原理计算球体体积的关键是找出满足条件的几何体并且通过各个视角观察几何体是学生学习的难点。

具体步骤（1）作半球体：设置两个滑动条a和b，区间设为0-10和0-a，為后面移动截面和变化球体半径作准备.设圆心半径为a，输入框输入方程式“（x + 3）? + y? = a?”；根据球面的参数方程以及输入框指令的提示，在输入框输入“曲面[x（A）+ a cos（t）cos（i），a cos（t）sin（i），a sin（t），t，0，π，i，0，2π]”作出半球面。

（2）做圆柱圆锥：设圆心半径为a，输入框输入方程式“（x -3）? + y? = a?”作出底面；利用圆柱工具，或在输入框输入“圆柱[f，a]”，同样方法作出圆柱体内的圆锥。

（3）作移动的平面与截面：移动的平面与平面xOy平行，在输入框输入“平面[B，z = b]”；利用相交曲线工具；同样利用相交曲线工具，点选圆柱和移动平面，圆锥和移动平面即可的到圆环截面。

（4）文本输入：先计算出圆环面积后（在输入框输入“面积[ <圆或椭圆> ]”），利用文本工具，输入相关文本或修改标签输入“S_圆=π （＼sqrt{a?-b?}）=”，并且勾选LaTeX数学式，同理输入“S_环=S_大-S_小=”等；最后利用文本工具写上标题“祖暅原理与球体体积”，字号修改为“大”，“粗”体。

通过以上四个步骤的图形，可以通过滑动两个滑动条分别改变球的半径和移动截面位置，并且从各个视角观察，同时验证连个截面圆面积和圆环面积始终相等，体会从“平面”到“空间”的类比数学思想，体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积都相等”的辩证法的思想，使学生发现数学“变中有不变”的思想，利用祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，可得出： 。几何体的三维动态模型更能激发学生兴趣，弥补学生空间知觉与图形认知能力发展的不足。

（二）解题教学

示例2将一个半径为3、四个半径为1的球完全放入底面边长为6的正四棱柱容器，则容器高度最小值为多少。

分析 本题主要的考点是立体几何球与棱柱相切的关系。学生在思考本题时，对于球与棱柱的位置关系，需要学生强大的空间想象力，GGB就可以帮助学生动态的演示和从三维视角更直观地形象地查看图像，几何画板不具备展示三维图形的功能。

本题中这五个球的位置很容易得知是将四个小球先放在棱柱的四个拐角上，然后让大球叠放在四个小球上方（如图2-1-1），本题关键是：求出以四个小球的球心为底，大球球心为顶点，做出一个四棱锥，而这个四棱锥的高度最小（如图2-1-2），再加上大小球半径即为棱柱的高度.而四棱锥高度（EK）何时最小？则要转化到中，这正是学生思维的壁障所在，要突破这壁障就必须变换各个视角让学生观察这个空间几何体。

具体步骤（1）作不定高四棱柱：先作出边长为6的正方形用多边形工具；构造射线l，在输入框输入“射线[（0，0，0），（0，0，100）]”，并在l上取一点F（拖动F可实现棱柱高度变化），作出棱柱，运用棱柱工具。

（2）作五个球体：作大球心E（0，3，z（F）-3），在输入框输入“球面[E，3]”，同理其中一个小球球心N（2，1，1）做小球，然后利用平面对称，中心对称作出其他三个小球。

（3）作交线：作大球和小球的交线，用相交曲线工具，点选大小球即可。

通过以上3个步骤作出三维的立体图形，并且可以通过旋转视角，改变视向，或者鼠标的拖动（注意此时工具为），给学生以3D的视角呈现，突破学生思维壁障，更加直观，帮助学生理解与发展空间思维。

三、 结语

综上所述，适当运用动态的数学软件在高中立体几何教学中是有优势的。目前国内大陆而言，可能几何画板运用更加广泛，但是与国际（欧美等国）与台湾大陆上运用较广的GGB相比，其有很多短板之处。就几何教学上GGB就可以完全弥补几何画板的缺陷也具备其所有的功能，并且通过GGB形象动态的呈现，学生可以得到平时难以感受的思维过程以及对于问题应全面思考，扫除学生解题时的盲区。故广大一线教师与在校师范生在应用与选择过程中应结合具体教学的实际需求来选择动态软件。

参考文献

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作者简介：王芳，女，1994年3月生，浙江临海人，硕士在读，浙江师范大学，专业：学科教学（数学）研究方向：数学教学与教育。endprint