小学数学类比推理活动经验目标制订的原则研究

章颖

摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力，提高学生解决现实问题的能力。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推理等推断某些结果。文章依托小学数学教学中的相关案例来阐述教师在制定类比教学目标时应遵循的原则。

关键词：小学数学；类比；推理活动

制定类比的教学目标和创设类比活动时存在一定主观因素上的差异，这使得教师在制定的教学目标时也会产生差异，目标引领下的类比活动不尽相同，学生获得的类比经验就会有所不同。所以，挖掘类比教学的目标，并制定适合学生年龄特点的类比推理活动，让学生获得类比活动经验，把握制定类比教学目标的原则显得尤为重要。

一、攫取类比对象本质，异中求同

教师在课堂上设计丰富多样的类比活动帮助学生回忆旧知识，联系新旧知识的生长点。类比活动建立在学生对已知事物属性了解的基础上，教师枚举数个同一类型的对象，让学生在活动中发现这些类比对象本质规律上的相似，把它的具体形象逐步抽象，类比迁移，再总结归纳出这一类本质规律相同的对象的数学模型。这样搭建引桥，以激发学生从已知走向未知的好奇心。以人教版一年级下册“两位数加一位数、整十数”这一课为例：

1.“两位数加一位数”算法上的相似性

如新授“25+2=？”，在学生理解两位数加一位数算理，并掌握了算法时，进一步引发学生思考：两位数加一位数都能用这样的方法来计算吗？你会计算这三个算式吗？61+7，53+6，32+4。让学生边计算边思考这三个算式与例题25+2的相同点，运用算理感悟四个算式算法都相同。于是迁移类推出“两位数加一位数”的算法：先把个位相加，然后将十位与个位合起来。

2.“两位数加两位数” 算法上的相似性

掌握“两位数加一位数”的算法后，组织学生合作学习“25+20=？”。“25+20，怎样计算？你能和同桌一起摆一摆，算一算吗？提出合作要求：①自己独立摆小棒，边摆边算。②和同桌介绍你是怎样摆的？说一说先算什么，再算什么？”由于学生在学习“25+2=？”时展示了多样的计算方法，理解了5个一加2个一等于7个一，此时类推5个十加2个十等于7个十，并再次尝试计算33+60，52+30，41+20。对比在计算两位数加整十数时，我们都是怎样计算的呢？先把十位相加，再把十位和个位合起来。

3.“两位数加一位数”与“两位数加两位数” 算法上的相似性

结束两个例题的教学时，对比“25+2”和“25+20”的计算方法。刚才我们学会了两位数加一位数和两位数加整十数的计算方法。它们的计算方法相同吗？在对比中发现，“两位数加一位数”先把个位相加，“两位数加整十数”先把十位相加，综合两种计算顺序，像这样个位和个位相加、十位和十位相加也就是相同数位相加。类比两种计算方法，发现计算时只有数位相同时才能相加。计算时关键是看清加的是一位数，还是整十数。如果加數是一位数就要加在个位上，如果加数是整十数就要加在十位上。

两个例题的学习分别在教师引导学生操作、学生进行不同类型类比活动的基础上进行。教师时时监控类比的方式，如“你会计算这三个算式吗？61+7，53+6、32+4”“25+20怎样计算？你能和同桌一起摆一摆，算一算吗？”“回顾比较两种类型计算25+2和25+20的计算方法”等，使之与学习活动相互促进，逐步呈现类比经验的过程性目标要求。在本质相似的对象中找相同的属性，在相同的属性中寻找差异，并趋近于结果性目标，逐步将学生已经积累的基本类比经验迁移到当下、后续的学习中去，实现知识的正迁移，使繁复的知识系统构建清晰的脉络。

二、丰富类比活动形式，明晰差异

两个类比对象之间的相似度很高，学生在观察、比较这类形式相近的事物时，往往会将陌生对象与已认知的相近的类比对象进行假设，联想、迁移这类相近的事物属性来探索未知对象具有的属性。这种以对象之间的相似度为基础的类比，即使在形式上相似度很高，但本质上存在一定的差异。从相同的属性中找到差异，并探索类比对象之间的联系，就能顺利地探索出不熟悉的类比对象的属性。

人教版二年级下册“表内除法（一）解决问题”一课教材使用相似度极高的两道题目作为例题。这是学生已经初步认识除法，初步建立平均分的概念，能比较熟练地用2～6的乘法口诀求商后，进一步理解平均分的含义，用除法的运算解决简单的实际问题。

课前选取6道学生已经学习过的除法练习分类，学生根据以往知识经验、搜索认知结构分析，初步感知类比问题，这样能为进一步帮助学生掌握类比方法提供媒介。新授时，引导学生阅读审题，感知两种平均分类型的差异，继而画图分析差异，然后列式抽象想法，最后用语言叙述归纳总结，用不同的方式表征问题结构、分析数量关系，明晰平均分的两种类型的内在联系与本质区别。学生运用类比对象的相似性，带着解决类比类型问题的思考，对除法的两种类型题目进行分析、研究，进一步丰富和提升类比推理的经验。

三、经历类比学习过程，建立模型

1. 创设情境，搭设桥梁

教师引导学生在已有知识与未知知识之间搭设桥梁，首先要求学生对已有知识掌握娴熟，这样他们发现类比对象之间可能存在某种关联。类比对象之间既有相似又存在不同，往往可以通过这样的对比，探索新对象与已知对象的共同之处，又可以发现它们的独特个性，这样的教学符合学生的认识规律。endprint

人教版三年级上册教学“认识几分之一”一课，学生在认识实物模型的—后，类比推理认识其他的几分之一。联系前面学习的例子，教师带来不同类型的直观图，让学生思考下列图形的阴影部分是否可以用几分之一来表示，如果可以，让学生和同桌说说这个分数表示的意思。借助面积模型、线段模型使学生认识几分之一，体会分数的含义，明确几分之一都表示把一个物体或者图形平均分成几份，取这样的一份。

这种借助生活情境中熟悉直观图的推理方式，学生在已经形成实物模型的—的概念后，获得两个相对量的抽象理解，建立几分之一这样一种类型数的概念，从一到多，推己及彼，是对分数认识的一个飞跃，分散了对抽象数的理解难度。

2.类比猜想，探索思路

將新知识与已有知识的相似属性进行类比，摸索解决问题的策略，可以实现知识与方法的正迁移，使教学活动起到事半功倍的效果。同一个类比活动可能常常蕴含着多种类比教学的方式，有时也会相互交叉，学生在类比活动中通过关系相似猜想结果，从已经形成的经验性知识尝试推理出另一个新知识的相似属性，理解概念，抽象出数，构建数学模型，正是教师从不同的角度提高学生数学类比活动经验的表现。

在上述一课里，自主探索认识—是学生感受分数整体和部分关系的关键。

首次类比，辨析整体不变，部分相同。教师给每位学生准备了一张同样大小的正方形纸，学生通过折一折、画一画，用阴影部分表示出正方形的—。如图所示：

它们都可以表示这个正方形的—吗？为什么阴影部分形状不同，却都能用—来表示呢？引导学生类比小结归纳：它们都是把同样大的正方形平均分成4份，取一份也就是它的—。强调整体不变，平均分的份数不变，都取一份，部分也不变。

再次类比，辨析整体改变，部分改变。大正方形是否也可以用—来表示？如图所示：

引导学生从分数的意义类比，小正方形的—指的是把小正方形平均分成4份，取一份。大正方形的—指的是把大正方形平均分成4份，取一份。小正方形和大正方形的阴影部分都能用—来表示，但是它们的大小却不同。强调整体不同，平均分的份数不变，都取一份，部分却会发生变化。

第三次类比，部分不变，整体改变。课件出示小正方形拼出的各种图形，除第一个图形外，在拼接时逐一出现每一个图形的小正方形，让学生比比谁能更快说出阴影部分表示的分数。如右上图所示：

第一个图形学生说出分数很轻松，从第二幅图开始由于拼组所使用的小正方形逐一出现，学生发现每出现一个小正方形分数就会发生变化，到第三个图形的小正方形不断变化的时候，学生不再受教师引诱说出分数，而表示不知道整个图形的大小所以不能确定分数。借鉴之前的学习经验，学生对几分之一的理解更加深刻，归纳总结出：阴影部分相同，当整体发生变化，分数就会发生变化。有趣的类比活动重点发展学生的观察力，激发学生已有的分数模型，深入理解分数，抽象分数的本质意义。

3.发现结论，拓展延伸

能用几分之一表示的分数有无穷个，教师提供给每个学生一样大小的长方形，学生尝试迁移分数，创造自己喜欢的分数。不同大小的分数在学生手里纷纷呈现：—，—，—，—，—，— ……直觉联想，迁移创造，对比观察，发现结论：当整体不变时，平均分的份数变化了，分数就会发生变化。

有些学生取的分数不同，还有呈现几分之几：—，—，—……再次观察，得出结论：当整体不变时，平均分的分数也不变，但取的份数变化了，分数也会发生变化。这样数学课堂便把类比的作用发挥得淋漓尽致，将某一类事物的知识推广到另一类事物上，对构建自我的知识系统具有重大意义。

类比活动的条件和结构之间有这样相似或相异的形态，制订教学目标时，教师因需置宜类比对象之间的联系，判断这样的类比教学是否存在本质特性、活动形式、教学实施方面的相似性，再引导学生去类推猜想，并不断地修正和完善类比推理结论，学生在不断探索的过程中体验、积淀推理活动的经验，从而把类比推理能力引向更为广泛的领域，引申出更有价值的问题。

参考文献：

[1]黄朝阳.中国古代的类比[M].北京：社会科学文献出版社，2006.

[2]刘 霖.论推类与传统类比推理[J].湘潭师范学院学报（社科版），2007 （1）.endprint