以巧取胜

高培明

摘要：高中数学目前解题通常采用通性解法，也就是常规思维，通过定理和已知条件的思路进行解题。在学习中训练这种解题方法的同时，也不能忽略特征值法的应用，两种方法是对立统一的，在很多试题通过常规方法解题受阻的情况下，特殊值法可能会收到更好的效果。

關键词：特殊值；解法；高中数学

在遇到一些数学难题的时候，可以选择一个适当的特殊值，再将特殊值作为已知条件进行研究。也可以将一般问题以特殊化处理，通过在“变值”当中寻找“定值”，找到解决问题的途径，下面就这种方法用具体事例进行分析。

一、 选择题中快速简洁

选择题解题方法通常灵活多变，并且选择题的解题时间分配量有限，所以在正式考试的时候要求学生在有限的时间内准确快速的找到正确答案，因此解题的技巧和方法此时显得更加重要。这里介绍的特殊值法就是其中重要方法之一，具体分析可以看下面的例子。

例1多项式（x+1）（x+2）…（x+n）（x≥2，n∈N）相乘整理后，xn-2项的系数为（）

A. 112n（n-1）（n+1）（3n+2）

B. 124（n-1）（n+1）（3n+2）

C. 124n（n-1）（n+1）（n+2）

D. 148n（n-1）（n+1）（n+2）

解析：运用常规正向解法，解题过程会非常麻烦。而且就选择题的特点来说，不需要具体的解析具体运算过程。这时候运用特殊值法就显得非常合适，选择合适的特殊值确定或者否定一些答案，能快速在四个答案中找到正确选项。

当n=2时，所求系数应为2，此时A、B、C、D的值分别为4、2、1、12，所以可以淘汰答案A、C、D，正确答案为B。

点拨：如果采用常规解法，令展开式中xn-2项的系数为an-2=（1×2+1×3+…+1×n）+（2×3+…+2×n）+…+n×（n-1），按这个思路接下去也可以得到正确答案，但是对于选择题来说未免小题大做，这种情况下选择特值法，问题就快捷高效的得到了解决。

二、 反证法中有的放矢

反证法是从命题的反面入手，并且否定原来的命题作为推理条件，再结合定理、法则等通过合理的逻辑推理得到正确结果。它是众多“特殊值法”类型中的一种。能恰当的利用这种方法，就很可能在遇到复杂问题时，取得意想不到的结果。下面通过例题来说明一下如何运用特殊值法解证明题。

例2证明函数y=cosx不是周期函数。

解析：由题目已知条件得，函数定义域为全体非负实数。运用假设法，如果假设y=cosx是周期函数，则存在T≠0使得一切在定义域内的x满足cosx+T=cosx。

令x=0有cosT=cos0=1T=2mπ，m∈Z；

令x=T有cos2T=cosT=12T=2nπ，n∈Z；

于是2=nm，此时与m、n∈Z相互矛盾，从而可以得出假设不成立。

所以原命题y=cosx不是周期函数。

点拨：假设法的优势尤其体现在遇到否定命题的时候，通过制造相互矛盾来证明命题的成立性。本题非常巧妙的取两个特殊值制造出了两个结论的矛盾，解题效果是立竿见影的。学生要在日常学习当中注意这类题的积累，并归纳解题方法，夯实自己的数学基础。

三、 函数性质中巧妙灵活

求函数的性质多通过题目已知条件结合定理或者函数性质等方法正向解题。这里介绍的特殊值法是一种创新的解题方法，这种解法技巧性强，需要开阔的数学思维，下面的例题希望能给广大学生提供一些新颖的解题角度。

例3已知函数y=f（x）对一切a、b∈R，等式f（ab）=f（a）+f（b）恒成立，求证：f（x）必有因式x2-x。

解析：令a=b=0，有f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0，所以f（x）必有因式x。

令a=b=1，有f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0，所以f（x）必有因式x-1。

结合以上两个结论可以得出，f（x）必有因式x2-x。

点拨：这道题的思路是利用函数y=f（x）如果含有因式x-m等价于f（m）=0，再通过函数的相关性质得到最后证明结果，在这里特殊值法的妙处体现的淋漓尽致。用特殊值法求函数性质是一种具有创造性的方法，运用得当在遇到难题时可能就会取得“出其不意”的效果。

参考文献：

[1] 章林海.揭示本质，找准突破，让思维回归“自然”[J].中学教研（数学），2017（05）.

[2] 张正华.特值法在高中数学中的特殊用法[J].高中数理化，2016（Z1）.endprint