高中数学中的数学归纳法

罗思懿 湖南省长沙市南雅中学

高中数学中的数学归纳法

罗思懿 湖南省长沙市南雅中学

数学归纳法是一种在数学中常用的解题方法，它在高中数学中的应用非常广泛，数学归纳在高中数学的多种学习内容中都有着非常重要的作用，本文探讨了数学归纳法在高中数学中的应用及学习的难点，以供参考。

数学归纳法 高中数学 学习应用

1 数学归纳法的概述

1.1 数学归纳法

数学归纳法是数学上证明与自然数n有关命题的一种解题方法，它主要用来证明与自然数有关的数学问题，是一种非常严谨的数学命题证明方法。

数学归纳法并不是一种简单的归纳整理的数学方法，而是一种利用已知条件对命题进行演绎推理的数学方法。数学归纳法中，首先通过对若干的既成事实进行归纳整理后形成一个结论，再依据命题中的已知条件和归纳得出的结论进行演绎推理，从而得出一个符合命题解题思路的结论。

1.2 数学归纳法的步骤和适用范围

数学归纳法的基本解题步骤：

1．2．1 第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：

①证明当n取第一个值n0时，命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

②假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；

综合①和②，得出：对一切自然数n（≥n0），命题P（n）都成立。

1．2．2 第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P（n），有如下步骤：

①验证n=n0时，P（n）成立；

②假设n0≤nn0）成立，能推出Q（k）成立，假设Q（k）成立，能推出P（k+1）成立；

综合①和②，得出：对一切自然数n（≥n0），命题P（n），Q（n）都成立。

数学归纳法适用于一切有关正整数开始N的任意正整数n大于等于N都成立的算术型命题。

1.3 数学归纳法的特点

数学归纳法有不同于其他数学方法的特点，数学归纳法是完全归纳法的一种数学归纳法能证明命题在n开始的对于所有自然数都正确，而不完全归纳法则只能证明n取其中某些数字时命题正确，没有证明对于所有的自然数都正确。

2 数学归纳法在高中数学中的应用

2.1 数学归纳法在不等式证明中的应用

在不等式证明问题中，用数学归纳法来证明可以采用函数与数列结合证明的方法。

例如：证明：如果n（n为正整数）个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥n。

则：①当n=1时，有a1=1，命题正确。

②假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2…an=1，则有a1+a2+…+ak≥k；当n=k+1时，已知k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1满足条件a1a2…ak+1=1。若这k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1都相等，则它们都是1，其和为k+1，命题得证。若这k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，则其中必有大于1的数与小于1的数，否则与a1a2…ak+1=1相矛盾。可设a1＞1，a2＜1，将乘积a1a2看成一个数，这样就可以得到k个正数a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘积是1，借助归纳假设法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。所以a3+a4+…+ak+ak+1≥ka1a2，所以a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），因为a1＞1，a2＜1，所以-（a1-1）（a2-1）＞0，所以a1+a2+…+ak+ak+1-k-1＞0，即a1+a2+…+ak+ak+1＞k+1，所以当n=k+1时，命题成立。

综合①和②，可知对于一切正整数n，如果n个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥n这一命题成立。

2.2 数学归纳法在恒等式证明中的应用

用数学归纳法证明恒等式的问题也是非常实用的。例如：证明：1-1/2+1/3+1/4+…+（1/2n-1）-（1/2n）=1/n+1+1/n+2+…+1/2n时要注意关键步骤不要含糊不清，项数估计不能错误和记住利用归纳假设的方法，这样就可以很简单的得出命题成立的结论了。

3 数学归纳法在高中数学中学习的难点

数学归纳法的学习难点究其根本还是由于学生没有对数学归纳法的逻辑推理理解清楚，从而导致在学习数学归纳法时对于理解逻辑推理和数学归纳法的应用方面没有学习到位，没有认识到数学归纳法在逻辑推理上的严谨性，没有较好地理解基础知识就生搬硬套地利用数学归纳法解决各种问题的证明，从而导致证明过程中出现了逻辑的混乱或者思路不清晰等种种的错误，这是非常需要注意的。

在数学归纳法的学习上我们还应该更加的努力，争取把数学归纳法的应用和逻辑的推理都理解透彻，学习清楚。

[1]张先达.数学归纳法在中学数学中的应用[J].经济研究导刊,2011,(14):304-305

[2]肖海燕,代钦.数学归纳法在几何教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2011,(04):130-131